Bài $15.3$
$a)$
Ta có :
`a(b+d) = ab + ad`
`b(a+c) = ab + bc`
Nếu `a < b \Rightarrow a(b+d) < b(a+c)`
Chia cả `2` vế cho ` b(b+d)` ta được :
`{a(b+d)}/{b(b+d)} < {b(a+c)}/{b(b+d)}`
`⇒ a/b < {a+c}/{b+d}` `(1)`
Ta có :
`d(a+c) = ad + cd`
`c(b+d) = bc + cd`
Nếu `d < c \Rightarrow d(a+c) < c(b+d)`
Chia cả `2` vế cho `d(b+d)` ta được :
`{d(a+c)}/{d(b+d)} < {c(b+d)}/{d(b+d)}`
`⇒ {a + c}/{b+d} < c/d` `(2)`
Từ `(1)` và `(2)` `⇒ a/b < {a+c}/{b+d}< c/d`
`b)`
Ta có :
`a(bn+d) = abn + ad`
`b(an + c) = abn + bc`
Nếu `a < b \Rightarrow a(bn+d) < b(an+c)`
Chia cả `2` vế cho `b(bn+d)` ta được :
`{a(bn+d)}/{b(bn+d)} < {b(an+c)}/{b(bn+d)}`
`⇒ a/b < {an+c}/{bn+d}` `(1)`
Ta có :
`c(bn+d) = cbn + cd`
`d(an + c) = dbn + dc`
Nếu `d< c \Rightarrow d(bn+d) < c(an+c)`
Chia cả `2` vế cho `d(an+c)` ta được :
`{d(an+c)}/{d(an+c)} < {c(an+c)}/{d(an+c)}`
`⇒ {an+c}/{bn+d} < c/d ` `(2)`
Từ `(1)` và `(2)` `⇒ a/b < {an+c}/{bn+d} < c/d`
