Ta có
$\underset{x \to 0}{\lim} \dfrac{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 - \sin x}}{x^3} = \underset{x \to 0}{\lim} \dfrac{\sqrt{1 + \tan x} - 1 - (\sqrt{1 - \sin x} - 1)}{x^3}$
$= \underset{x \to 0}{\lim} \dfrac{frac{\tan x}{\sqrt{1 + \tan x} + 1} + \frac{\sin x}{\sqrt{1 - \sin x} + 1}}{x^3}$
$= \underset{x \to 0}{\lim} \dfrac{\frac{\tan x}{x} . \frac{1}{\sqrt{1 + \tan x} + 1} + \frac{\sin x}{x} . \frac{1}{\sqrt{1 - \sin x} + 1}}{x^2}$
Ta xét tử
$\underset{x \to 0}{\lim} \dfrac{\tan x}{x} . \dfrac{1}{\sqrt{1 + \tan x} + 1} + \dfrac{\sin x}{x} . \dfrac{1}{\sqrt{1 - \sin x} + 1} = 1 . \dfrac{1}{1 + 1} + 1 . \dfrac{1}{1 + 1} = 1$
Ta thấy tử tiến đến $1$ và mẫu tiến đến $0$. Do đó giới hạn trên tiến đến $+ \infty$.
$\underset{x \to 0}{\lim} \dfrac{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 - \sin x}}{x^3} = + \infty$
