a) Xét $∆ABK$ có:
$AH = HM$
$\Rightarrow BH$ là trung tuyến ứng với cạnh $AK$
$BH\perp AK \,(BH\perp AH)$
$\Rightarrow BH$ là đường cao ứng với cạnh $AK$
Do đó $∆ABK$ cân tại $B$
Tương tự, trong $∆ACK$ có:
$CH\perp AK$
$AH = HM$
$\Rightarrow ∆CAK$ cân tại $C$
b) Ta có: $AE//BC \, (gt)$
$\Rightarrow AH\perp AE \, (AH\perp BC)$
$\Rightarrow \widehat{HAE} = 90^o$
$CE//AH \, (gt)$
$\Rightarrow CE\perp BC \, (AH\perp BC)$
$\Rightarrow \widehat{HCE} = 90^o$
Xét tứ giác $AHCE$ có:
$\widehat{HAE} = \widehat{HCE} = \widehat{AHC} = 90^o$
Do đó $AHCE$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow AH= CE; \, \widehat{AEC} = 90^o$
$\Rightarrow AE\perp CE$
c) Xét hình chữ nhật $AHCE$ có:
$I$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $HE$
$\Rightarrow IA = IH = IC = IE$
$\Rightarrow KI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $AC$
Xét $∆CAK$ có:
$CH$ là trung tuyến ứng với cạnh $AK$
$KI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $AC$
$KI$ cắt $CH$ tại $Q$
$\Rightarrow Q$ là trọng tâm của $∆CAK$
Ta lại có: $MK = MC \, (gt)$
$\Rightarrow AM$ là trung tuyến ứng với cạnh $KC$
$\Rightarrow Q \in AM$
$\Rightarrow A, Q, M$ thẳng hàng
d) $AB//QK$
$\Rightarrow QK\perp AC \, (AB\perp AC)$
mà $QK$ là trung tuyến ứng với cạnh $AC$
$\Rightarrow ∆KAC$ cân tại $K$
Ta lại có: $∆KAC$ cân tại $C$
$\Rightarrow ∆KAC$ đều
$\Rightarrow \widehat{KAC} = 60^o$
mà $\widehat{KAC} = \widehat{ABC}$ (cùng phụ $\widehat{HAB}$)
nên $\widehat{ABC} = 60^o$
$\Rightarrow ABC$ là nửa tam giác đều cạnh $BC$, $\widehat{B} = 60^o$
