Ta có:
$\dfrac{x}{\sqrt{x-1}} \geq 2$
Thật vậy:
$\quad x = x - 1 + 1 \geq 2\sqrt{x-1}$ (Bất đẳng thức $AM-GM$)
$\to \dfrac{x}{\sqrt{x-1}} \geq 2$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:
$\quad \dfrac{a^2}{b-1} + \dfrac{b^2}{c-1} + \dfrac{c^2}{a-1} \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{b-1}\cdot \dfrac{b^2}{c-1}\cdot\dfrac{c^2}{a-1}}$
$\to \dfrac{a^2}{b-1} + \dfrac{b^2}{c-1} + \dfrac{c^2}{a-1} \geq 3\sqrt[3]{\left(\dfrac{a}{\sqrt{a-1}}\cdot\dfrac{b}{\sqrt{b-1}}\cdot\dfrac{c}{\sqrt{a-1}}\right)^2}$
$\to \dfrac{a^2}{b-1} + \dfrac{b^2}{c-1} + \dfrac{c^2}{a-1} \geq 3\sqrt[3]{(2.2.2)^2} =12$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow a =b = c = 2$
