a) Thay `x=2` vào phương trình ta được:
`2^{2}-2(m-1).2+2m-5=0`
`<=> 4-4m+4+2m-5=0`
`<=> -2m=-3`
`<=> m=3/2`
Khi đó: `x^{2}-2.(3/2-1)x+2.3/2-5=0`
`<=> x^{2}-x-2=0`
Ta có: `a-b+c=1+1-2=0`
`=> x_{1}=-1; x_{2}=-c/a=-(-2)/1=2`
Vậy `m=3/2` thì phương trình có một nghiệm bằng `2` và nghiệm còn lại là `-1`
b)
Xét phương trình: `x^{2}-2(m-1)x+2m-5=0`
Ta có: `Δ=b^{2}-4ac`
`=[-2(m-1)]^{2}-4.1.(2m-5)`
`=4(m-1)^{2}-8m+20`
`=4m^{2}-8m+4-8m+20`
`=4m^{2}-16m+16+8`
`=(2m-4)^{2}+8 >= 8 với mọi m`
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm
Vì phương trình luôn có 2 nghiệm
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
$\begin{cases} x_1+x_2=\frac{-b}{a}=2(m-1)\\\\x_1.x_2=\frac{c}{a}=2m-5 \end{cases}$
`sqrt{x_{1}}-sqrt{x_{2}}=2`
`<=> (sqrt{x_{1}}-sqrt{x_{2}})=4`
`<=> x_1 - 2sqrt{x_1.x_2} + x_2 = 4`
`<=> 2(m-1) - 2sqrt{2m-5}=4`
`<=> -2sqrt{2m-5}=-2m +6 `
`<=> sqrt{2m-5}=m-3` `(đk: m>=3)`
`<=> 2m -5=m^{2} - 6m + 9`
`<=> m^{2}-8m + 14 = 0`
Giải phương trình ta được:
$\begin{cases} x_1=4+\sqrt{2} (nhận)\\\\x_2=4-\sqrt{2} (loại) \end{cases}$
Vậy `m=4+sqrt{2}` thì thỏa mãn yêu cầu
