Đáp án:
$m \geqslant -1 - 2\sqrt2$
Giải thích các bước giải:
$\quad 2(\sin x + \cos x) + \sin2x + m = 0\qquad (*)$
Đặt $t = \sin x + \cos x\quad \left(t \in \left[-\sqrt2;\sqrt2\right]\right)$
$\Rightarrow t^2 = 1 + \sin2x$
$\Rightarrow t^2 - 1 = \sin2x$
Phương trình trở thành:
$\quad 2t + t^2 - 1 + m =0\qquad (**)$
$(*)$ có nghiệm
$\Leftrightarrow (**)$ có nghiệm thuộc $\left[-\sqrt2;\sqrt2\right]$
$+)$ Với $\Delta' = 0 \Leftrightarrow 1 - (m - 1) =0 \Leftrightarrow m = 2$
Khi đó $(**)$ có `1` nghiệm $t = -1 \in \left[-\sqrt2;\sqrt2\right]$
$+)$ Với $\Delta' \ne 0 \Leftrightarrow m\ne 2$
$\bullet\quad TH1:\ (**)$ có `2` nghiệm thuộc $\left[-\sqrt2;\sqrt2\right]$
$\Leftrightarrow -\sqrt2 \leqslant t_1 < t_2 \leqslant \sqrt2$
$\Leftrightarrow \begin{cases}1.f\left(-\sqrt2\right) \geqslant 0\\1.f\left(\sqrt2\right)\geqslant 0\\-\sqrt2 \leqslant \dfrac{S}{2}\leqslant \sqrt2\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m + 1 - 2\sqrt2 \geqslant 0\\m +1 + 2\sqrt2\geqslant 0\\-\sqrt2 \leqslant -1 \leqslant \sqrt2\end{cases}$
$\Leftrightarrow m \geqslant 2\sqrt2 - 1$
$\bullet\quad TH2:\ (**)$ có `1` nghiệm thuộc $\left[-\sqrt2;\sqrt2\right]$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}-\sqrt2 \leqslant t_1 \leqslant \sqrt2 \leqslant t_2\\t_1 \leqslant -\sqrt2 \leqslant t_2 \leqslant \sqrt2\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow f\left(-\sqrt2\right).f\left(\sqrt2\right) \leqslant 0$
$\Leftrightarrow \left(m + 1 - 2\sqrt2\right)\left(m + 1 + 2\sqrt2\right)\leqslant 0$
$\Leftrightarrow - 1 - 2\sqrt2 \leqslant m \leqslant -1 + 2\sqrt2$
Vậy với $m \geqslant -1 - 2\sqrt2$ thì phương trình đã cho có nghiệm
