Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá. Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy + yz + xz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{z^2+x^2}+\frac{5}{2}(x+1)(y+1)(z+1)\)

kinphamddh

6 năm trước

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy + yz + xz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{z^2+x^2}+\frac{5}{2}(x+1)(y+1)(z+1)\)

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 461 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

jvtbh10

Giả sử \(z=min\left \{ x;y;z \right \}\). Đặt \(x+\frac{z}{2}=u;y+\frac{z}{2}=v\Rightarrow u>0;v>0\)
Ta có \(x^2+z^2\leq (x+\frac{z}{2})^2\Leftrightarrow \frac{3}{4}z^2-xz\leq 0\Leftrightarrow z(3a-4x)\leq 0\) luôn đúng
Vậy \(x^2+z^2\leq (x+\frac{z}{2})^2=u^2;y^2+z^2\leq v^2;x^2+y^2\leq u^2+v^2\)
Mà với u, v > 0 ta có \(\frac{1}{u}+\frac{1}{v}\geq \frac{4}{u+v}\) và \(\frac{1}{u^2}+\frac{1}{v^2}\geq \frac{8}{(u+v)^2}\)

Vậy \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{z^2+x^2}\geq \frac{1}{u^2+v^2}+ \frac{1}{u^2}+\frac{1}{v^2}=\)

\(\frac{1}{u^2+v^2}+\frac{1}{4}(\frac{1}{u^2}+\frac{1}{v^2})+\frac{3}{4}(\frac{1}{u^2}+\frac{1}{v^2})\)

\(\geq \frac{1}{u^2+v^2}+\frac{1}{2uv}+\frac{6}{(u+v)^2}\geq \frac{4}{(u+v)^2}+\frac{6}{(u+v)^2}=\frac{10}{(u+v)^2}=\frac{10}{(x+y+z)^2}\)
Mà

\((x+1)(y+1)(z+1)=xyz+(xy+xz+yz)+x+y+z+1=\)
\(xyz+x+y+z+2\geq x+y+z+2\)
Vậy \(P\geq \frac{10}{(x+y+z)^2}+\frac{5}{2}(x+y+z)+5\). Đặt \(x+y+z=t \ (t\geq \sqrt{3})\)
Xét \(f(t)=\frac{10}{t^2}+\frac{5}{2t}\) với \(t\geq \sqrt{3}\). Ta có \(f'(t)=-\frac{20}{t^3}+\frac{5}{2}=0\Leftrightarrow t=2\)
Từ đó ta có: \(P\geq f(2)=10+\frac{5}{2}=\frac{25}{2}\)
Khi \(x=y=1;z=0\) thì \(P=\frac{25}{2}\). Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{25}{2}\)

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!

Tính tích phân \(I = \int_{0}^{\pi} (e^{\cos x} + x) \sin xdx\)

Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y=x^3-3x^2+1 \ (C)\)

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Tính tích phân \(I=\int_{0}^{1}x\left ( \frac{x^2e^x+2+e^x}{1+x^2} \right )dx\)

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Tính tích phân: \(I=\int_{ln2}^{ln3}\frac{e^xdx}{1-e^{2x}}\)

Giải phương trình: \(4\log _{4}(x^{2}-3)-\log _{\sqrt{2}}(6x-10)+2=0\)

Tính tích phân: \(I=\int_{0}^{1}\frac{6x+7}{3x+2}dx.\)

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AD; các đường thẳng SA, AC và CD đôi một vuông góc với nhau; SA = AC = CD = \(a\sqrt{2}\) và AD = 2BC. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD.

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{-2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-1}{-1}\) và mặt phẳng \((P):x+y+z+-6=0\). Tìm tọa độ giao điểm A của ∆ và (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA vuông góc với ∆ và khoảng cách từ M đến ∆ bằng \(4\sqrt{14}\)

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–2; 3; 1) và đường thẳng \(d:\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{-2}\). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với đường thẳng d. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho khoảng c{ch từ M đến mặt phẳng (P) bằng 3.

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y=x^4-4x^2 \ \ (C)\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến