Đáp án:
Bài 5:
a.$(x+5)(x-1)(x+1)(x+3)$
b.$(x-7y-1)(3x-y-1)$
Giải thích các bước giải:
Bài 5:
a.Ta có:
$x^4+8x^3+14x^2-8x-15$
$=(x^4+8x^3+16x^2)-2x^2-8x-15$
$=(x^2+4x)^2-2(x^2+4x)-15$
$=(x^2+4x)^2-2(x^2+4x)+1-16$
$=(x^2+4x-1)^2-4^2$
$=(x^2+4x-1-4)(x^2+4x-1+4)$
$=(x^2+4x-5)(x^2+4x+3)$
$=(x^2+5x-x-5)(x^2+x+3x+3)$
$=(x+5)(x-1)(x+1)(x+3)$
b.Ta có:
$3x^2-22xy-4x+8y+7y^2+1$
$=(3x^2-xy-x)-(21xy-7y^2-7y)-(3x-y-1)$
$=x(3x-y-1)-7y(3x-y-1)-(3x-y-1)$
$=(x-7y-1)(3x-y-1)$
Bài 6:
Ta có:
$P=(a^2+3a+1)^2-1$
$\to P=(a^2+3a+1-1)(a^2+3a+1+1)$
$\to P=(a^2+3a)(a^2+3a+2)$
$\to P=a(a+3)\cdot (a+1)(a+2)$
$\to P=a(a+1)(a+2)(a+3)$
Ta có $a,a+1,a+2$ là $3$ số tự nhiên liên tiếp
$\to a(a+1)(a+2)\quad\vdots\quad 3$
$\to a(a+1)(a+2)(a+3)\quad\vdots\quad 3$
$\to P\quad\vdots\quad 3(1)$
Ta có $a,a+1,a+2, a+3$ là $4$ số tự nhiên liên tiếp
$\to$Tồn tại $2$ số chẵn liên tiếp
$\to a(a+1)(a+2)(a+3)\quad\vdots\quad 8(2)$
Từ $(1), (2)$ do $(3,8)=1$
$\to a(a+1)(a+2)(a+3)\quad\vdots\quad 3\cdot 8$
$\to a(a+1)(a+2)(a+3)\quad\vdots\quad 24$
$\to (a^2+3a+1)^2-1\quad\vdots\quad 24$
Bài 7:
Gọi $2$ số lẻ là $2a+1, 2b+1, a\\in Z$
Ta cần chứng minh:
$P=(2a+1)^2-(2b+1)^2\quad\vdots\quad 8$
Thật vậy
$P=((2a+1)-(2b+1))((2a+1)+(2b+1))$
$\to P=(2a-2b)(2a+2b+2)$
$\to P=4(a-b)(a+b+1)$
Nếu $a,b$ cùng tính chẵn lẻ
$\to a-b\quad\vdots\quad 2$
Nếu $a,b$ khác tính chẵn lẻ
$\to a+b+1\quad\vdots\quad 2$
$\to (a-b)(a+b+1)\quad\vdots\quad 2$
$\to 4(a-b)(a+b+1)\quad\vdots\quad 8$
$\to P\quad\vdots\quad 8$
$\to đpcm$
