Bài 4b) hình b tự vẽ nhaaa
Xét ΔCAN và ΔCMP có :
CA=CM=r
$\widehat{CAN}$ = $\widehat{CMP}$ = $90^o$
AN=MP ( gt)
⇒ΔCAN = ΔCMP(cgc)
⇒CN=CP( 2 cạnh tương ứng)
Xét ΔCPN có: CN=CP (cmt)
⇒ΔCPN cân tại C (dhnb)
*Gọi I là trung điểm của NP
Xét ΔCPN cân tại C (cmt) có:
CI là đường trung tuyến của ΔCPN (I là trung điểm của NP)
⇒ CI là đường cao của ΔCPN ( tc Δ cân)
⇒ CI vuông góc NP tại I (cmt)
Xét tứ giác NACI có
$\widehat{NAC}$ + $\widehat{NIC}$ = $90^o$ + $90^o$ = $180^o$
mà 2 góc ∧NAC và ∧NIC đối nhau
⇒Tứ giác NACI nội tiếp (dhnb)
⇒$\widehat{NIA}$ + $\widehat{NCA}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn $\mathop{NA}\limits^{\displaystyle\frown}$ )
Xét tứ giác CIMP có
$\widehat{CIP}$ = $\widehat{CMP}$ = $90^o$
mà 2 góc có đỉnh I và P kề nhau cùng nhìn CP
⇒Tứ giác CIMP nội tiếp (dhnb)
⇒$\widehat{MIP}$ = $\widehat{MCP}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MP)
Có:ΔCAN= ΔCMP (cmt)
⇒$\widehat{NCA}$ = $\widehat{MCP}$ ( 2 góc tương ứng )
mà $\widehat{NIA}$ = $\widehat{NCA}$(cmt)
$\widehat{MIP}$ = $\widehat{MCP}$ (cmt)
⇒$\widehat{NIA}$ = $\widehat{MIP}$
Có : $\widehat{NIA}$ + $\widehat{PIA}$= $180^o$( N,I,P thẳng hàng)
⇒$\widehat{MIP}$ + $\widehat{PIA}$= $180^o$
⇒$\widehat{AIM}$= $180^o$
⇒A,I,M thẳng hàng
Vậy AM đi qua trung điểm của NP (đpcm)
Bài 5:
P = 3 . ( a + b ) + ab
Có : a² + b² = 2
⇒ ( a + b )² - 2ab = 2
⇒ $\frac{1}{2}$ (a+b)² - 1
Ta đặt x = a + b
Từ đó : P = 3x+$\frac{1}{2}$ $x^{2}$ - 1
P = $\frac{1}{2}$ $(x+3)^{2}$ - $\frac{11}{2}$
Ta có: ( a + b )² ≤ 2( a² + b² ) ⇒ x² ≤ 4 ⇒ -2 ≤ x ≤ 2
Từ đó: x + 3 ≥ 1 ⇒ (x+3)² ≥ 1
⇒ P ≥ -5
Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = -1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = -5 khi a = b = -1
