Đáp án:
`a,`
Xét `ΔAHB` và `ΔAHC` có :
`hat{AHB} = hat{AHC} = 90^o`
`AH` chung
`AB = AC` (giả thiết)
`-> ΔAHB = ΔAHC` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
$\\$
$\\$
$b,$
Do `ΔAHB = ΔAHC` (chứng minh trên)
`-> hat{DAH} = hat{HAC}` (2 góc tương ứng)
Do $DH//AC$
`-> hat{DHA} = hat{HAC}` (2 goc so le trong)
mà `hat{DAH} = hat{HAC}` (chứng minh trên)
`-> hat{DHA} =hat{DAH} (= hat{HAC})`
`-> ΔADH` cân tại `D`
$\\$
$\\$
$c,$
Có : `AB = AC` (giả thiết)
`-> ΔABC` cân tại `A`
`-> hat{B} = hat{C}`
Do $DH//AC$
`-> hat{DHB} = hat{C}` (2 góc đồng vị)
mà `hat{B} = hat{C}` (chứng minh trên)
`-> hat{DHB} = hta{B} (= hat{C})`
`-> ΔBDH` cân tại `D`
`-> BD = HD`
mà `AD = HD` (Do `ΔADH` cân)
`-> AD = BD (= HD)`
`-> D` là trung điểm của `AB`
`-> CD` là đường trung tuyến của `ΔABC`
Do `ΔABC` cân tại `A`
`AH` là đường cao
`-> AH` là đường trung tuyến của `ΔABC`
Xét `ΔABC` có :
`CD` là đường trung tuyến
`AH` là đường trung tuyến
`CD` cắt `AH` tại `G`
`-> G` là trọng tâm của `ΔABC`
$\\$
$\\$
$d,$
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔABH` có :
`AB + BH > AH` `(1)`
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔACH` có :
`AC + CH > AH` `(2)`
Đem `(1) + (2)` vế với vế ta được :
`AB + BH + CH + AC > AH + AH`
`-> AB + AC + BC > 2AH` `(3)`
Do `G` là trọng tâm của `ΔABC`
`-> BG = 2/3 BE`
`-> 3BG = 2BE`
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔABE` có :
`AB + AE > BE` `(4)`
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔBCE` có :
`BC + CE > BE` `(5)`
Đem `(4) + (5)` vế với vế ta được :
`AB + AE + CE + BC > BE + BE`
`-> AB + AC + BC > 2BE`
mà `3BG = 2BE`
`-> AB + AC+ BC > 3BG` `(6)`
Đem `(3) + (6)` vế với vế ta được :
`AB + AC+ BC + AB + AC+ BC > 2AH + 3BG`
`-> 2AB +2AC + 2BC > 2AH + 3BG`
`-> 2 (AB + AC + BC) > 2AH + 3BG`
`-> AB + AC + BC > AH + 3BG`
