Lời giải:
a) Xét tứ giác $ABHE$ có:
$\widehat{H}= \widehat{E}= 90^\circ$
$\Rightarrow \widehat{H} +\widehat{E}= 180^\circ$
Do đó $ABHE$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow A,B,H,E$ cùng thuộc một đường tròn
b) Ta có: $ABHE$ là tứ giác nội tiếp (câu a)
$\Rightarrow \widehat{HED}=\widehat{ABH} =\widehat{ABC}$
Ta lại có:
$\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$ (cùng chắn $\mathop{AC}\limits^{\displaystyle\frown}$)
Do đó:
$\widehat{HED}=\widehat{ADC}$
$\Rightarrow HE//CD$
c) Ta có:
$M$ là trung điểm dây cung $BC$
$\Rightarrow OM\perp BC$ (mối quan hệ đường kính - dây cung)
$\Rightarrow\widehat{M}= 90^\circ$
Xét tứ giác $BOEM$ có:
$\widehat{E}= \widehat{M}= 90^\circ$
Do đó $BOEM$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{MEF}=\widehat{MBO}\quad (1)$
Xét tứ giác $COMF$ có:
$\widehat{F}=\widehat{M}= 90^\circ$
Do đó $COMF$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{MFE}= \widehat{MCO}\quad (2)$
Bên cạnh đó:
$\triangle OBC$ cân tại $O\quad (OB = OC = R)$
$\Rightarrow\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$
hay $\widehat{MBO}=\widehat{MCO}\quad (3)$
Từ $(1)(2)(3)\Rightarrow \widehat{MEF}=\widehat{MFE}$
$\Rightarrow\triangle MEF$ cân tại $M$
$\Rightarrow ME = MF$
