Đáp án:
c. \(30°\)
d. \(63°\)
Giải thích các bước giải:
Câu 4:
a. Do \(SA \perp (ABCD)\)
\(\Rightarrow SA \perp AB\)
Vậy \(\Delta SAB\) vuông tại A
\(SA \perp AD\)
Vậy \(\Delta SAD\) vuông tại A
Ta có:
\(\left\{\begin{matrix} BC \perp AB
& & \\ BC \perp SA
& &
\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow BC \perp (SAB)\)
Vậy \(BC \perp SB\)
Vậy \(\Delta SBC\) vuông tại B
CM \(\Delta SCD\) vuông tương tự chứng minh trên
\(\Rightarrow \) 4 mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b. \(BD \subset (SBD)\) (1)
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} BD \perp AC
& & \\ BD \perp SA (SA \perp (ABCD))
& &
\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow BD \perp (SAC)\) (2)
Từ (1)(2) Suy ra: \((SAC) \perp (SBD)\)
c. Ta có: \(BC \perp (SAB)\) cm câu a
Vậy \(SB \) là hình chiếu \(SC\) lên \((SAB)\)
\(\Rightarrow \) Góc \(\widehat{BSC}\)
Áp dụng định lí Py-ta-go vào \(\Delta SAB\) vuông tại A:
\(SB=\sqrt{2a^{2}+a^{2}}=\sqrt{3}a\)
Xét \(\Delta SBC\) vuông tại B:
Ta có: \(\tan \widehat{BSC}=\dfrac{BC}{SB}=\dfrac{a}{\sqrt{3}a}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow \widehat{BSC}=30°\)
d. \((SBD) \bigcap (ABCD)=BD\)
\(SA \perp (ABCD)\)
Dựng \(AO \perp BD\) (Hai đường chéo hình vuông thì vuông góc) (1)
Ta có: \(BD \perp (SAC)\)
\(\Rightarrow BD \perp SO\) (2)
Từ (1)(2) Suy ra: Góc giữa \((SBD); (ABCD)\) là \(\widehat{SOA}\)
Áp dụng định lí Py-ta-go vào \(\Delta ABC\) vuông tại B:
\(AC=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2}.a\)
\(AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{\sqrt{2}a}{2}\)
Xét \(\Delta SAO\) vuông tại A:
Ta có: \(\tan \widehat{SOA}=\dfrac{SA}{AO}=\dfrac{a\sqrt{2}}{\dfrac{\sqrt{2}a}{2}}\)
\(\Rightarrow \widehat{SOA}=63°\)
