Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt $x^2+1=a$, $x+y=b$
Suy ra: $y=b-\sqrt{a-1}$
Hệ phương trình đã cho trở thành:
$\left\{\begin{array}{l}a+(b-\sqrt{a-1})b=4b-4\sqrt{a-1}\\a(b-2)=b-\sqrt{a-1}\tag{I}\end{array}\right.$
Từ phương trình thứ hai trong hệ I suy ra:
$ab-2a-b=-\sqrt{a-1}\\\Leftrightarrow b(a-1)=2a-\sqrt{a-1}\\\Leftrightarrow b=\frac{2a-\sqrt{a-1}}{a-1}$
Thay b vừa tìm được vào phương trình thứ nhất trong hệ I ta được:
$a+(\frac{2a-\sqrt{a-1}}{a-1}-\sqrt{a-1})\times \frac{2a-\sqrt{a-1}}{a-1}=4\times \frac{2a-\sqrt{a-1}}{a-1}-4\sqrt{a-1}$(1)
Đặt $\sqrt{a-1}=c$
Suy ra: $a=c^2+1$
Từ (1) suy ra:
$c^2+1+(\frac{2c^2-c+2}{c^2}-y)\times \frac{2c^2-c+2}{c^2}=4\times \frac{2c^2-c+2}{c^2}-4c\\\Leftrightarrow c^6+2c^5-2c^4-2c^3+c^2-4c+4=0\\\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}c=-2\\c=-i\\c=i\\c=1\end{array}\right.$
+) Với c=-i, ta có:
$a=(-i)^2+1=0\\\Leftrightarrow x^2+1=0(loại)$
+) Với c=-2, ta có:
$a=(-2)^2+1=5\\\Leftrightarrow x^2+1=5\\\Leftrightarrow x=\pm 2$
+) Với c=1, ta có:
$a=1^2+1=2\\\Leftrightarrow x^2+1=2\\\Leftrightarrow x=\pm 1$
Thay mỗi giá trị x vừa tìm được vào phương trình thứ nhất trong hệ và giải y, ta được:
+) Với x=2, ta được y không tồn tại là số thực
+) Với x=-2, ta được y=1, y=5
+) Với x=1, ta được y=1, y=2
+) Với x=-1, ta được $\frac{5\pm \sqrt{17}}{2}$
Thử lại ta chỉ thấy x = - 2; y = 5 và x = 1; y = 2 là thõa mãn hệ phương trình
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
{(x; y)}={(-2; 5); (1; 2)}
