Đáp án:
$1)\quad I = \displaystyle\iint\limits_D(y-x)dxdy=- \dfrac{1}{3}$
$2)\quad I = \displaystyle\iint\limits_D(x-y)dxdy = \dfrac13$
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
1)\quad I = \displaystyle\iint\limits_D(y-x)dxdy\quad \text{với}\quad D: \begin{cases}x - y + 1 =0\\x = 0\\y = 0\end{cases}\\
\text{Phương trình hoành độ giao điểm:}\\
\quad x + 1 = 0\Leftrightarrow x = -1\\
\text{Miền D được biểu diễn:}\\
D = \{(x,y): -1\leqslant x \leqslant 0;\ x+1 \leqslant y \leqslant 0\}\\
\text{Ta được:}\\
\quad I = \displaystyle\int\limits_{-1}^0dx\displaystyle\int\limits_{x+1}^o(y-x)dy\\
\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_{-1}^0\left[\left(\dfrac{y^2}{2} - xy\right)\Bigg|_{x+1}^0\right]dx\\
\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_{-1}^0\left(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac12\right)dx\\
\Leftrightarrow I = \left(\dfrac{x^3}{6} - \dfrac{1}{2}x\right)\Bigg|_{-1}^0\\
\Leftrightarrow I = -\dfrac13\\
2)\quad I = \displaystyle\iint\limits_D(x-y)dxdy\quad \text{với}\quad D:\begin{cases}x = 0\\y = 0\\y = x + 1\end{cases}\\
\text{Phương trình hoành độ giao điểm:}\\
\quad x + 1 = 0\Leftrightarrow x = -1\\
\text{Miền D được biểu diễn:}\\
D = \{(x,y): -1\leqslant x \leqslant 0;\ x+1 \leqslant y \leqslant 0\}\\
\text{Ta được:}\\
\quad I = \displaystyle\int\limits_{-1}^0dx\displaystyle\int\limits_{x+1}^o(x-y)dy\\
\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_{-1}^0\left[\left(xy -\dfrac{y^2}{2}\right)\Bigg|_{x+1}^0\right]dx\\
\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_{-1}^0\left(\dfrac{1}{2} -\dfrac{x^2}{2}\right)dx\\
\Leftrightarrow I = \left(-\dfrac{x^3}{6} + \dfrac{1}{2}x\right)\Bigg|_{-1}^0\\
\Leftrightarrow I = \dfrac13\\
\end{array}\)
