Đáp án:
$\\$
`a,`
Do `ΔABC` cân tại `A`
`-> AB=AC`
Do `AH` là đường phân giác của `hat{A}`
`-> hat{BAH} = hat{CAH}`
Xét `ΔAHB` và `ΔAHC` có :
`AH` chung
`AB=AC` (chứng minh trên)
`hat{BAH}=hat{CAH}` (chứng minh trên)
`-> ΔAHB = ΔAHC` (cạnh - góc - cạnh)
`-> HB=HC` (2 cạnh tương ứng)
Do `ΔAHB=ΔAHC` (chứng minh trên)
`-> hat{AHB}=hat{AHC}` (2 góc tương ứng)
mà `hat{AHB} + hat{AHC}=180^o` (2 góc kề bù)
`-> hat{AHB} =hat{AHC}=180^o/2 = 90^o`
hay `AH⊥BC`
$\\$
$\\$
`b,`
Có : `HB=HC` (chứng minh trên)
`-> H` là trung điểm của `BC`
`-> BH=1/2BC`
`-> BH = 1/2 . 36`
`-> BH=18cm`
Xét `ΔAHB` vuông tại `H` có :
`AH^2 + BH^2 = AB^2` (Pitago)
`-> AH^2 = AB^2 - BH^2`
`-> AH^2 = 30^2 - 18^2`
`-> AH^2 = 24^2`
`-> AH=24cm`
$\\$
$\\$
`c,`
Có : `H` là trung điểm của `BC`
`-> AH` là đường trung tuyến của `ΔABC`
Có : `M` là trung điểm của `AC`
`-> BM` là đường trung tuyến của `ΔABC`
Xét `ΔABC` có :
`AH` là đường trung tuyến
`BM` là đường trung tuyến
`AH` cắt `BM` tại `G`
`-> G` là trọng tâm của `ΔABC`
`AH` là đường trung tuyến
`-> AG = 2/3 AH`
`-> AG = 2/3 . 24`
`-> AG = 16cm`
Lại có : `G` là trọng tâm của `ΔABC`
Với `AH` là đường trung tuyến
`-> GH = 1/3 AH`
`-> GH = 1/3 . 24`
`-> GH = 8cm`
Xét `ΔBHG` vuông tại `H` có :
`BH^2 + GH^2 = BG^2` (Pitago)
`-> BG^2 = 18^2 + 8^2`
`-> BG^2 = 388`
`-> BG = \sqrt{388}cm`
Có : `G` là trọng tâm của `ΔABC`
`BM` là đường trung tuyến
`-> BG = 2/3 BM`
`-> \sqrt{388} = 2/3 BM`
`-> BM = 3 \sqrt{97}cm`
$\\$
$\\$
`d,`
Do `ΔABC` cân tại `A`
`-> hat{B}=hat{C}`
Do $DH//AC$
`-> hat{DHB} = hat{C}` (2 góc đồng vị)
mà `hat{B}=hat{C}` (chứng minh trên)
`-> hat{DHB} = hat{B} (= hat{C})`
`-> ΔBDH` cân tại `D`
`-> BD = DH` `(1)`
Do `ΔAHB=ΔAHC` (chứng minh trên)
`-> hat{BAH} = hat{HAC}` (2 góc tương ứng)
hay `hat{DAH} = hat{HAC}`
Do $DH//AC$
`-> hat{DHA} = hat{HAC}` (2 góc so le trong)
mà `hat{DAH} = hat{HAC}` (chứng minh trên)
`-> hat{DHA} = hat{DAH} (= hat{HAC})`
`-> ΔADH` cân tại `D`
`-> AD = DH` `(2)`
Từ `(1), (2)`
`-> BD = AD (= DH)`
`-> D` là trung điểm của `AB`
`-> CD` là đường trung tuyến của `ΔABC`
`-> CD` đi qua trọng tâm `G` của `ΔABC`
`-> C,G,D` thẳng hàng
