Đáp án:
`a,`
Xét `ΔABC` và `ΔADE` có :
`AB = AD` (Do `ΔABD` cân tại `A`)
`AE = AC` (Do `ΔACE` cân tại `A`)
`hat{BAC} = hat{DAE}` (2 góc đối đỉnh)
`-> ΔABC = ΔADE` (cạnh - góc - cạnh)
`-> BC = DE` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
$\\$
$b,$
Vì `ΔABD` vuông cân tại `A`
`-> hat{ABD} = hat{ADB} = (180^o - hat{A})/2 = (180^o - 90^o)/2 = 90^o/2`
`-> hat{ABD} = hat{ADB} = 45^o` `(1)`
Vì `ΔACE` vuông cân tại `A`
`-> hat{AEC} = hat{ACE} =(180^o- hat{A})/2 = (180^o - 90^o)/2 = 90^o/2`
`-> hat{AEC} = hat{ACE} = 45^o` `(2)`
$\\$
Từ `(1), (2)`
`-> hat{ABD} = hat{AEC} (=45^o)`
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
$→ BD//CE$
$\\$
$\\$
$c,$
Xét `ΔMNC` có :
`NA` là đường cao
`MH` là đường cao
`NA` cắt `MH` tại `A`
`-> A` là trực tâm của `ΔMNC`
`-> CA` là đường cao
`-> CA⊥NM`
$\\$
$\\$
$d,$
Vì `ΔABC = ΔADE` (chứng minh trên)
`-> hat{ADM} = hat{ABH}` (2 góc tương ứng)
Có : `hat{DAM} = hat{HAC}` (2 góc đối đỉnh)
ma `hat{ABH} = hat{HAC}` (Cùng phụ `hat{BAH}`)
`-> hat{DAM} = hat{ABH} (= hat{HAC})`
Lại có : `hat{ADM} = hat{ABH}`
`-> hat{DAM} = hat{ADM} (= hat{ABH})`
`-> ΔADM` cân tại `M`
`-> AM = DM` `(3)`
Vì `ΔABC = ΔADE` (chứng minh trên)
`-> hat{MEA} = hat{ACH}` (2 góc tương ứng)
Có : `hat{MAE} = hat{BAH}` (2 góc đối đỉnh)
mà `hat{BAH} = hat{ACH}` (Cùng phụ `hat{ABH}`)
`-> hat{MAE} = hat{ACH} (= hat{BAH})`
Lại có : `hat{MEA} = hat{ACH}`
`-> hat{MAE} = hat{MEA} (= hat{ACH})`
`-> ΔAME` cân tại `M`
`-> AM = ME` `(4)`
$\\$
Từ `(3), (4)`
`-> AM = DM = ME`
`-> AM = (DE)/2`
