Giải thích các bước giải:
a,
Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng là \(\overline {1a3b} \) \(\left( {a,b \in N;0 \le a,b \le 9} \right)\)
\(\overline {1a3b} \) chia hết cho 5 nên \(b = 0\) hoặc \(b = 5\)
TH1: \(b = 0\)
\(\overline {1a30} \) chia hết cho 3 nên \(\left( {1 + a + 3 + 0} \right)\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow \left( {a + 4} \right)\,\, \vdots \,\,3\)
\(0 \le a \le 9 \Rightarrow a \in \left\{ {2;5;8} \right\}\)
TH2: \(b = 5\)
\(\overline {1a35} \) chia hết cho 3 nên \(\left( {1 + a + 3 + 5} \right)\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow \left( {a + 9} \right)\,\, \vdots \,\,3\)
\(0 \le a \le 9 \Rightarrow a \in \left\{ {0;3;6;9} \right\}\)
Vậy các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
\(1230;\,\,1530;\,\,1830;\,\,\,1035;\,\,1335;\,\,1635;\,\,1935\)
b,
\(\begin{array}{l}
S = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ..... + {2^{100}}\\
\Leftrightarrow 2S = 2.\left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ..... + {2^{100}}} \right)\\
\Leftrightarrow 2S = 2.1 + 2.2 + {2.2^2} + {2.2^3} + .... + {2.2^{100}}\\
\Leftrightarrow 2S = 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ..... + {2^{101}}\\
\Leftrightarrow 2S - S = \left( {2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ..... + {2^{101}}} \right) - \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ..... + {2^{100}}} \right)\\
\Leftrightarrow S = {2^{101}} - 1\\
\Rightarrow S < {2^{101}}
\end{array}\)
