Giải thích các bước giải:
$1/$
Câu này mình nghĩ là đề sai đấy, nên sửa lại $\overrightarrow{GC'}$ thành $\overrightarrow{GC}$
Do $G$ là trọng tâm của tam giác $ΔABC$:
$⇒\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0$
$⇔\overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}$
$2/$
Chuyển điều cần phải chứng minh thành:
Chứng minh: $\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=0$
$⇔\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CC'}=0$
$⇔(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'})=0$
Mà, ta có:
$\frac{\overrightarrow{A'B}}{\overrightarrow{A'C}}+\frac{\overrightarrow{B'C}}{\overrightarrow{B'A}}+\frac{\overrightarrow{C'A}}{\overrightarrow{C'B}}=k$
$⇒\frac{\overrightarrow{A'B}}{\overrightarrow{BC}}+\frac{\overrightarrow{B'C}}{\overrightarrow{CA}}+\frac{\overrightarrow{C'A}}{\overrightarrow{AB}}=k$
Ta có:
$\begin{cases} \overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA'}\\\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB'}\\\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC'} \end{cases}$
$⇒\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA'}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB'}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC'}$
$⇔\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{BA'}+\overrightarrow{CB'}+\overrightarrow{AC'})$
$=0+k1.(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})=0+k1.0$
$⇔\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=0$
$->$ Điều phải chứng minh.
