Đáp án:
Bạn tham khảo nhé!
Giải thích các bước giải:
Xét tổng: \({{\left( x+3 \right)}^{2001}}=\sum\limits_{k=0}^{2001}{C_{2001}^{k}{{3}^{k}}{{x}^{2001-k}}}\).
Thay \(x=1\Rightarrow {{4}^{2001}}=C_{2001}^{0}+3.C_{2001}^{1}+{{3}^{2}}C_{2001}^{2}+...+{{3}^{2001}}C_{2001}^{2001}\) (1).
Thay \(x=-1\Rightarrow {{2}^{2001}}=C_{2001}^{0}-3.C_{2001}^{1}+{{3}^{2}}C_{2001}^{2}+...-{{3}^{2001}}C_{2001}^{2001}\) (2).
Cộng hai vế của (1) và (2) ta có:
\(\begin{array}{l}
{4^{2001}} + {2^{2001}} = 2\left( {C_{2001}^0 + {3^2}C_{2001}^2 + ... + {3^{2000}}C_{2001}^{2000}} \right)\\
\Leftrightarrow C_{2001}^0 + {3^2}C_{2001}^2 + ... + {3^{2000}}C_{2001}^{2000} = \frac{1}{2}\left( {{4^{2001}} + {2^{2001}}} \right)\\
\Leftrightarrow C_{2001}^0 + {3^2}C_{2001}^2 + ... + {3^{2000}}C_{2001}^{2000} = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {{2^{2001}}} \right)}^2} + {2^{2001}}} \right]\\
\Leftrightarrow C_{2001}^0 + {3^2}C_{2001}^2 + ... + {3^{2000}}C_{2001}^{2000} = \frac{1}{2}{.2^{2001}}\left[ {{2^{2001}} + 1} \right]\\
\Leftrightarrow C_{2001}^0 + {3^2}C_{2001}^2 + ... + {3^{2000}}C_{2001}^{2000} = {2^{2000}}\left[ {{2^{2001}} + 1} \right]
\end{array}\)
