b) Xét $∆AEH$ và $∆AHB$ có:
$\widehat{A}:$ góc chung
$\widehat{E} = \widehat{H} = 90^o$
Do đó $∆AEH\sim ∆AHB \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AE}{AH} = \dfrac{AH}{AB}$
$\Rightarrow AE.AB = AH^2$
Chứng minh tương tự đối với $∆AFH$ và $∆AHC$ ta được:
$AF.AC = AH^2$
Vậy $AE.AB = AF.AC$
c) Chứng minh công thức:
$\dfrac{1}{HE^2} = \dfrac{1}{AH^2} + \dfrac{1}{HB^2}$
Ta có: $AB.HE = AH.HB = 2S_{ABH}$
$\Rightarrow HE = \dfrac{AH.HB}{AB}$
$\Rightarrow HE^2 = \dfrac{AH^2.HB^2}{AB^2}$
$\Rightarrow HE^2 = \dfrac{AH^2.HB^2}{AH^2 + HB^2}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{HE^2} = \dfrac{AH^2 + HB^2}{AH^2.HB^2}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{HE^2} = \dfrac{1}{AH^2} + \dfrac{1}{HB^2}$
Chứng minh tương tự với $HF$, ta được:
$\dfrac{1}{HF^2} = \dfrac{1}{AH^2} + \dfrac{1}{HC^2}$
Ta có:
$\dfrac{1}{HE^2} - \dfrac{1}{HF^2}$
$=\dfrac{1}{HA^2} + \dfrac{1}{HB^2} - \left(\dfrac{1}{HA^2} + \dfrac{1}{HC^2}\right)$
$=\dfrac{1}{HB^2} - \dfrac{1}{HC^2}$ $(đpcm)$
