a,Áp dụng định lí pytago vào Δvuông ABC có :
BC²=AB²+AC² ⇒BC²=9²+12²=225
⇒BC=15(cm)
Có Diện tíchΔABC=1/2AH.BC=1/2AB.AC
⇒AH.BC=AB.AC⇒AH=$\frac{AB.AC}{BC}$ =$\frac{9.12}{15}$ =$\frac{36}{5}$ =7,2(cm)
Vậy BC=15cm ; AH=7,2cm
b,Có AH⊥BC;EF⊥BC⇒AH song song EF⇒HAD=EDC(2 góc đồng vị)
mà HAD=ABH(cùng phụ với góc BAH)
⇒AHB=EDC
Xét ΔEBF và ΔEDC có :
BEF=DEC=90
FBE=CDE(cmt)
⇒ ΔEBF ∞ ΔEDC (gg)
c,Xét ΔABD và ΔHBI có:
góc A= góc H=90
ABD=HBI(BD là tia phân giác B)
⇒ ΔABD ∞ ΔHBI(gg)
⇒$\frac{AB}{BH}$ =$\frac{BD}{BI}$ ⇒AB.BI=BH.BD(đpcm)
Xét ΔABC có FE,CA là các đường cao (FE⊥BC;CA⊥BF)
mà FE ∩ CA tại D⇒D là trực tâm của ΔABC⇒BD là đường cao thứ 3
⇒BD⊥CF(đpcm)
d,Xét ΔABC có BD là tia phân giác góc B(gt)
⇒$\frac{AD}{DC}$ = $\frac{AB}{BC}$ =$\frac{9}{15}$ =$\frac{3}{5}$ ⇒$\frac{AC}{DC}$ =$\frac{8}{5}$
Xét ΔAHC có :DE song song AH⇒$\frac{AH}{DE}$ =$\frac{AC}{DC}$ =$\frac{8}{5}$
Có $\frac{dt ABC}{dt BCD}$ =$\frac{1/2AH.BC}{1/2DE.BC}$= $\frac{AH}{DE}$ =$\frac{8}{5}$
