a) Xét tam giác ABM và tam giác AMC có chung chiều cao hạ từ A xuống BC, đáy BM bằng đáy CM nên hai tam giác này có diện tích bằng nhau
Vì hai tam giác ABM và tam giác AMC có diện tích bằng nhau, chung đáy AM nên khoảng cách từ B xuống AM bằng khoảng cách từ C xuống AM
Xét tam giác ABE và tam giác ACE có chung đáy AE nên khoảng cách từ B xuống AM bằng khoảng cách từ C xuống AM nên hai tam giác ABE và tam giác ACE có diện tích bằng nhau
b) Do N là trung điểm của AB nên diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tam giác ANC
Diện tích tam giác ACN là:
$450:2=225 $($cm^{2}$ )
Xét tam giác ANC và tam giác ANK có chung chiều cao hạ từ N xuống AC,Đáy AC gấp 3 lần AK nên diện tích tam giác ANC gấp 3 lần diện tích tam giác AKN
Diện tích tam giác AKN là:
$225:3=75$ ($cm^{2}$ )
Xét tam giác AEK và tam giác AEC có chung chiều cao hạ từ E xuống AC,Đáy AC gấp 3 lần AK nên diện tích tam giác AEC gấp 3 lần diện tích tam giác AEK. Hay $\frac{S_{AEK}}{S_{AEC}}=\frac{1}{3} $
Xét tam giác ANE và tam giác ABE có chung chiều cao hạ từ E xuống AB,Đáy AB gấp đôi đáy AN nên diện tích tam giác ABE gấp 2 lần diện tích tam giác AEN.
Do hai tam giác ABE và tam giác ACE có diện tích bằng nhau nên $\frac{S_{AEN}}{S_{AEC}}=\frac{1}{2} $
Tỉ số diện tích tam giác AEK và diện tích tam giác AEN là:
$\frac{1}{3}:\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$
Vì $\frac{S_{AEK}}{S_{AEN}}=\frac{2}{3} $ nên $\frac{S_{AEK}}{S_{ANK}}=\frac{2}{5} $
Diện tích tam giác AKE là:
$75:5\times2=30$ ($cm^{2}$ )
Đáp số: $30$ $cm^{2}$
