Với $n=0$, BĐT đúng.
Giả sử BĐT đúng với $n=k$, ta phải chứng minh BĐT đúng với $n=k+1$
Tức là phải chứng minh : $(\frac{a+b)^{k+1}}{2})^{k+1} ≤ \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2} (1)$
Thật vậy, xét hiệu :
$H= \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2} - (\frac{a+b)^{k+1}}{2})^{k+1}$
$= \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2} - (\frac{a+b)^{k+1}}{2}^k.(\frac{a+b}{2} $
Suy ra $ H ≥ \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2} - (\frac{a+b)^{k+1}}{2}^k.(\frac{a+b}{2} $
$H ≥ \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2} - \frac{a^{k+1}+a^kb+ab^k+b^{k+1}}{4}$
$H ≥ \frac{a^{k+1}-a^kb+b^{k+1}-ab^k}{4}; H ≥ \frac{(a-b)(a^k-b^k)}{4} $
Nên : $H ≥\frac{(a-b)^2(a^{k-1}+a^{k-2}b+...+b^{k-1})}{4} ; H ≥0$
( Dấu "=" xảy ra $⇔a=b$ )
Vậy bất đẳng thức đúng vơi mọi $n ∈ N$
