Đáp án:
$B.\ z$ đạt cực tiểu tại $(-2;0)$ và $(2;0)$
Giải thích các bước giải:
$\quad z = x^4 - 8x^2 + y^2 + 5$
Toạ độ điểm dừng là nghiệm của hệ:
$\quad \begin{cases}z'_x = 0\\z'_y = 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}4x^3 - 16x=0\\2y = 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}x = 0\\y =0\end{cases}\\\begin{cases}x = -2\\y =0\end{cases}\\\begin{cases}x = 2\\y =0\end{cases}\end{array}\right.$
Đặt $\begin{cases}A = z''_{xx}= 12x^2 - 16\\B = z''_{xy}= 0\\C =z''_{yy}= 2\end{cases}$
+) Tại $M_1(0;0)$ ta được:
$\begin{cases}A = -16 \\B = 0\\C = 2\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = 32 > 0$
$\Rightarrow$ Hàm số không đạt cực trị tại $M_1(0;0)$
+) Tại $M_2(-2;0)$ ta được:
$\begin{cases}A = 32 >0\\B = 0\\C = 2\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = - 64 <0$
$\Rightarrow$ Hàm số đạt cực tiểu tại $M_2(-2;0);\ z_{\min}= -11$
+) Tại $M_3(2;0)$ ta được:
$\begin{cases}A = 32 >0\\B = 0\\C = 2\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = - 64 <0$
$\Rightarrow$ Hàm số đạt cực tiểu tại $M_3(2;0);\ z_{\min}= -11$
