Cách 1:
$I$ là trung điểm $BC$
$I$ là trung điểm $FE$
$\to BECF$ là hình bình hành
$\to BE\,\,||\,\,CF$
Mà $BE\bot AC$
Nên $CF\bot AC$
$\to \widehat{AFC}=90{}^\circ $
$\to F\in \left( O \right)$
Cách 2:
Vẽ đường kính $AD$
$\Delta ABD$ và $\Delta ACD$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $AD$ là đường kính
$\to \widehat{ABD}=\widehat{ACD}=90{}^\circ $
$\to\begin{cases}AB\bot BD\\AC\bot CD\end{cases}$
Ta có:
$\begin{cases}BE\bot AC\\CD\bot AC\end{cases}\to BE\,\,||\,\,CD$
$\begin{cases}CE\bot AB\\BD\bot AB\end{cases}\to CE\,\,||\,\,BD$
Tứ giác $BECD$ có:
$\begin{cases}BE\,\,||\,\,CD\\CE\,\,||\,\,BD\end{cases}$
$\to BECD$ là hình bình hành
Có $I$ là trung điểm $BC$
$\to I$ cũng là trung điểm $ED$
$\to D$ đối xứng với $E$ qua $I$
Mà $F$ cũng đối xứng với $E$ qua $I$
Nên $D\equiv F$
Mà $D\in \left( O \right)$
Nên $F\in \left( O \right)$
