Giải thích các bước giải:

Ta có:

$y = a{x^2} + bx + c\left( P \right)$

a) $(P)$ đi qua $A\left( {1;2} \right),B\left( { - 1;3} \right),C\left( {0;1} \right)$ 

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + b + c = 2\\
a - b + c = 3\\
c = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + b = 1\\
a - b = 2\\
c = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{3}{2}\\
b = \dfrac{{ - 1}}{2}\\
c = 1
\end{array} \right.$

Vậy $y = \dfrac{3}{2}{x^2} - \dfrac{1}{2}x + 1$

b) $(P)$ đi qua $A\left( {8;0} \right)$ và có đỉnh $I\left( {6; - 12} \right)$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
64a + 8b + c = 0\\
\dfrac{{ - b}}{{2a}} = 6\\
36a + 6b + c =  - 12
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
64a + 8b + c = 0\\
12a + b = 0\\
36a + 6b + c =  - 12
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 3\\
b =  - 36\\
c = 96
\end{array} \right.$

Vậy $y = 3{x^2} - 36x + 96$

c) $(P)$ đi qua $A\left( {0;6} \right)$ và đạt GTNN bằng $4$ tại $x=2$

$ \Leftrightarrow $$(P)$ đi qua $A\left( {0;6} \right)$ và có đỉnh $I\left( {2;4} \right)$ và $a>0$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c = 6\\
\dfrac{{ - b}}{{2a}} = 2\\
4a + 2b + c = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c = 6\\
4a + b = 0\\
4a + 2b + c = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{1}{2}\\
b =  - 2\\
c = 6
\end{array} \right.$

Vậy $y = \dfrac{1}{2}{x^2} - 2x + 6$

d) $(P)$ đạt GTNN bằng $4$ tại $x=1$ và cắt trục $Oy$ tại tung độ $-2$

$ \Leftrightarrow (P)$ đi qua $\left( {0; - 2} \right)$ và có đỉnh là $I\left( {1;4} \right)$ và $a>0$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c =  - 2\\
\dfrac{{ - b}}{{2a}} = 1\\
a + b + c = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c =  - 2\\
2a + b = 0\\
a + b + c = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 6(ktm,do:a > 0)\\
b = 12\\
c =  - 2
\end{array} \right.$

Vậy không tồn tại hàm số thỏa mãn đề.

e) $(P)$ nhận $x=3$ làm trục đối xứng, đi qua $A(-5;6)$ và cắt $Oy$ tại tung độ $-2$

$ \Leftrightarrow $$(P)$ nhận $x=3$ làm trục đối xứng, đi qua $A(-5;6)$ và $(0;-2)$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c =  - 2\\
\dfrac{{ - b}}{{2a}} = 3\\
25a - 5b + c = 36
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c =  - 2\\
6a + b = 0\\
25a - 5b + c = 36
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{{38}}{{55}}\\
b = \dfrac{{ - 228}}{{55}}\\
c =  - 2
\end{array} \right.$

Vậy $y = \dfrac{{38}}{{55}}{x^2} - \dfrac{{228}}{{55}}x - 2$

f) $(P)$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ và nhận $I(4;-1)$ làm đỉnh.

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c = 0\\
\dfrac{{ - b}}{{2a}} = 4\\
16a + 4b + c =  - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c = 0\\
8a + b = 0\\
16a + 4b + c =  - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{1}{{16}}\\
b = \dfrac{{ - 1}}{2}\\
c = 0
\end{array} \right.$

Vậy $y = \dfrac{1}{{16}}{x^2} - \dfrac{1}{2}x$

g) $(P)$ đi qua $A\left( {0; - 3} \right),B\left( { - 5; - 8} \right)$ và nhận $x=-2$ làm trục đối xứng.

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c =  - 3\\
25a - 5b + c =  - 8\\
\dfrac{{ - b}}{{2a}} =  - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c =  - 3\\
25a - 5b + c =  - 8\\
4a - b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 1\\
b =  - 4\\
c =  - 3
\end{array} \right.$

Vậy $y =  - {x^2} - 4x - 3$