Cho nửa đường tròn đường kính \(AB=2R\) và một điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt \(\widehat{CAB}=\alpha \) và gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Tìm \(\alpha \) sao cho thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi xoay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất:
A.\(\alpha ={{60}^{\circ }}\)
B.\(\alpha ={{45}^{\circ }}\)
 
C.\(\alpha =\arctan \frac{1}{\sqrt{2}}\)
D.\(\alpha ={{30}^{\circ }}\)

Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
\(\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}-\sqrt{\left( 3+x \right)\left( 6-x \right)}=m\)
A.\(0\le m\le 6\)
B.\(3\le m\le 3\sqrt{2}\)
C.\(-\frac{1}{2}\le m\le 3\sqrt{2}\)
D.\(3\sqrt{2}-\frac{9}{2}\le m\le 3\)

Cho tam giác ABC vuông tại A, \(AB=a,BC=2a.\) Tính thể tích khối nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh trục BC.
A.\(\frac{\pi {{a}^{3}}}{2}\)
B.\(\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}\)
C.\(3\pi {{a}^{3}}\)
D.\(\pi {{a}^{3}}\)

Cho \(\overrightarrow{v}\left( 3;3 \right)\)và đường tròn \(\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y-4=0\). Ảnh của (C) qua \({{T}_{\overrightarrow{v}}}\) là \(\left( {{C}^{'}} \right):\)
A.\({{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=9\)
B.\({{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4\)
C.\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+8x+2y-4=0\)
D.\({{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=9\)

Hãy lập phương trình đường thẳng (d) đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}-3x\)
A.\(y=mx+3m-1\)
B.\(y=-2\left( m+1 \right)x+m\)
C.\(y=\left( 2{{m}^{3}}-2 \right)x\)
D.\(y=-2x+2m\)

Cho khối chóp S.ABC có \(SA\bot \left( ABC \right),\) tam giác ABC vuông tại B, \(AB=a,AC=a\sqrt{3}.\) Tính thể tích khối chóp S.ABC biết rằng \(SB=a\sqrt{5}\)
A.\(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}\)
B. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}\)
C. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}\)
D. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}\)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y={{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+{{m}^{2}}x+2\) đạt cực tiểu tại x=1.
A.\(m=3\)
B.\(m=1\vee m=3\)
C.\(m=-1\)
D.\(m=1\)

Cho 3 đồ thị hàm số sau (như hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
A.\(a<b<c\)
B.\(a<c<b\)
C.\(b<a<c\)
D.\(b<c<a\)

Người ta chế tạo ra một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên, chế tạo ra một mặt nón tròn xoay có góc ở đỉnh là \(2\beta ={{60}^{\circ }}\) bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho 2 mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp xúc với mặt nón. Quả cầu lớn tiếp xúc với cả mặt đáy của mặt nó. Cho biết chiều cao của mặt nón bằng 9cm. Bỏ qua bề dày của những lớp vỏ thủy tinh, hãy tính tổng thể tích của hai khối cầu.
A.\(\frac{25}{3}\pi \left( c{{m}^{3}} \right)\)
B. \(\frac{112}{3}\pi \left( c{{m}^{3}} \right)\)
C. \(\frac{40}{3}\pi \left( c{{m}^{3}} \right)\)
D. \(\frac{10}{3}\pi \left( c{{m}^{3}} \right)\)

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y + 2}}{{3/2}} = \frac{{z - 6}}{2}\) và \({d_2}:\frac{{x - 5}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{4} = \frac{{z - 2}}{8}\) là:
A.\(A(3;7;18)\)
B.\(B( - 3;7;18)\)
C.\(C( 3;7;1)\)
D.\(D( 3;7; - 1)\)