Lời giải:
a) Ta có:
$SA\perp (ABCD)\quad (gt)$
$BD\subset (ABCD)$
$\Rightarrow SA\perp BD$
mà $BD\perp AC$ (hai đường chéo của đáy)
nên $BD\perp (SAC)$
Ta lại có:
$CD\subset (ABCD)$
$\Rightarrow SA\perp CD$
mà $CD\perp AD$ (hai cạnh kề của hình vuông)
nên $CD\perp (SAD)$
b) Ta có:
$SA\perp (ABCD)\quad (gt)$
$\Rightarrow A$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$
Lại có:
$\begin{cases}SC\cap (ABCD)=\{C\}\\SB\cap (ABCD)=\{B\}\end{cases}$
$\Rightarrow AC,\, AB$ lần lượt là hình chiếu của $SC,\, SB$ lên $(ABCD)$
$\Rightarrow \begin{cases}\widehat{(SC;(ABCD))}=\widehat{SCA}\\\widehat{(SB;(ABCD))}=\widehat{SBA}\end{cases}$
Xét $∆SAC$ vuông tại $A$ có:
$\tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{SA}{AB\sqrt2}$
$\Rightarrow \tan\widehat{SCA}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt6}{3}}{a\sqrt2}= \dfrac{\sqrt3}{3}$
$\Rightarrow \widehat{SCA}= 30^\circ$
Xét $∆SAB$ vuông tại $A$ có:
$\tan\widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}$
$\Rightarrow \tan\widehat{SBA}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt6}{3}}{a}= \dfrac{\sqrt6}{3}$
$\Rightarrow \widehat{SBA}\approx 39,23^\circ$
Vậy $\widehat{(SC;(ABCD))}=30^\circ$ và $\widehat{(SB;(ABCD))}\approx 39,23^\circ$
c) Ta có:
$SA\perp (ABCD)\quad (gt)$
$AB\subset (ABCD)$
$\Rightarrow SA\perp AB$
mà $AB\perp AD$ (hai cạnh kề của hình vuông)
nên $AB\perp (SAD)$
Ta lại có: $(P)\perp AB\quad (gt)$
$\Rightarrow (P)//(SAD)$
Từ $M$ kẻ $MN//AD;\, MP//SA\quad (N\in CD;\, P\in SB)$
$\Rightarrow ∆MNP$ là thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(P)$ và hình chóp
Do $MP//SA$ (cách dựng)
nên $MP\perp (ABCD)$
$\Rightarrow MP\perp MN$
$\Rightarrow ∆MNP$ vuông tại $M$
Xét $∆SAB$ có:
$MP//SA$ (cách dựng)
$AM = MB =\dfrac12AB\quad (gt)$
$\Rightarrow MP$ là đường trung bình
$\Rightarrow MP =\dfrac12SA =\dfrac{a\sqrt6}{6}$
Tương tự, ta được: $MN =\dfrac{BC + AD}{2}= a$
Do đó:
$S_{MNP}=\dfrac12MP\cdot MN =\dfrac12\cdot \dfrac{a\sqrt6}{6}\cdot a$
$\Rightarrow S_{MNP}=\dfrac{a^2\sqrt6}{12}$
