Ta có:
$\dfrac{1}{1 + a^2} + \dfrac{1}{1+ b^2} \geq \dfrac{2}{1 + ab}$
$\Leftrightarrow \dfrac{a^2 + b^2 + 2}{(1+ a^2)(1 + b^2)} \geq \dfrac{2}{1 + ab}$
$\Leftrightarrow (a^2 + b^2 + 2)(1 + ab) \geq 2(1+ a^2)(1 +b^2)$
$\Leftrightarrow ab(a^2 + b^2) + (a^2 + b^2) + 2 + 2ab \geq 2(a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1)$
$\Leftrightarrow ab(a^2 + b^2) + 2ab \geq 2a^2b^2 + a^2 + b^2$
$\Leftrightarrow [ab(a^2 + b^2) - 2a^2b^2] - (a^2 - 2ab + b^2) \geq 0$
$\Leftrightarrow ab(a^2 + b^2 - 2ab) - (a - b)^2 \geq 0$
$\Leftrightarrow ab(a - b)^2 - (a - b)^2 \geq 0$
$\Leftrightarrow (a - b)^2(ab - 1) \geq 0$ (luôn đúng với $a, b > 0; \, ab \geq 1$)
