Giải
a) Ta có: AD=BC (ABCD là hình bình hành)
mà EB=EC (E là trung điểm của BC); FA=FD ( F là trung điểm của AD )
⇒ EC=EB=FA=FD (1)
Có AD//BC (ABCD là hình bình hành) hay FD//EC (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Tứ giác ECDF là hình bình hành ( Tứ giác có 2 cạnh đối vừa // và vừa bằng nhau) (3)
Có AB=CD (ABCD là hình bình hành) mà 2AB= BC (giả thiết)
⇒ 2CD =BC mà EB= EC (E là trung điểm của BC)
⇒ CD=EC (4)
Từ (3) và (4) suy ra:
Tứ giác ECDF là hình thoi ( Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau )
b) Xét tứ giác ABED có:
BE // AD ( Từ BC // AD)
⇒ Tứ giác ABED là hình thang
Từ ABCD là hình bình hành suy ra ∠A=∠C=60° (hai góc đối)
∠B=D ( Hai góc đối)
⇒ ∠D=∠B = [360° - ( ∠A+ ∠C)] : 2
=[360° - ( 60° +60° ) ] : 2
=120 °
Xét ΔEFD và ΔDCE có:
EF =CD (Tứ giác ECDF là hình thoi)
∠EFD = ∠DCE (Tứ giác ECDF là hình thoi)
FD =EC (Tứ giác ECDF là hình thoi)
⇒ ΔEFD = ΔDCE ( c.g.c)
⇒∠FED = ∠EDC (hai góc tương ứng)
Có EF // CD (Tứ giác ECDF là hình thoi) mà AB // CD (ABCD là hình bình hành)
⇒ EF // AB
⇒∠BAF =∠EFD =60° ( hai góc đồng vị )
∠AFE= 180°- ∠BAF (hai góc trong cùng phía )
=180° - 60°
= 120°
Có ∠AFE =∠FEC =120° ( hai góc so le trong)
ED là đường chéo của hình thoi ECDF
⇒ ED là đường phân giác của góc FEC
⇒ ∠FED =∠DEC mà ∠FEC = 120°
⇒ ∠FED =∠DEC = 60°
∠EDF = 180° - (∠EFD +∠FED ) ( Tổng 3 góc của một tam giác)
= 180° -( 60° + 60°)
= 60°
Hình thang ABED có hai góc kề một đáy bằng nhau:
∠A =∠EDF =60°
⇒ Tứ giác ABED là hình thang cân
c) Ta có: 2AB= BC (giả thiết ) mà EB=EC (E là trung điểm của BC)
⇒ AB =EB (5)
Có EF= FD (Tứ giác ECDF là hình thoi) mà FD=FA ( F là trung điểm của AD )
⇒ EF = FA (6)
Từ (1), (5) và (6) suy ra:
Tứ giác ABEF là hình thoi ( tứ giác có 4 cạnh bằng nhau)
Hình thoi ABEF có AE là đường chéo
⇒AE là đường phân giác của góc BEF và góc BAF ( ∠BEF = ∠BAF do tứ giác ABEF là hình thoi)
⇒ ∠AEF =∠AEB=∠EAB=∠EAFF mà ∠BEF = ∠BAF= 60° (Tứ giác ABEF là hình thoi)
⇒∠AEF = 30°
Có ∠AED = ∠AEF + ∠FED
=30° + 60°
= 90°
