Đáp án: $A$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$y=(x+m)^3+(x+n)^3-x^3$
$\to y'=((x+m)^3+(x+n)^3-x^3)'$
$\to y'=3(x+m)^2+3(x+n)^2-3x^2$
Để hàm số đồng biến trên $R$
$\to y'\ge 0,\quad\forall x\in R$
$\to 3(x+m)^2+3(x+n)^2-3x^2\ge 0,\quad\forall x\in R$
$\to (x+m)^2+(x+n)^2-x^2\ge 0,\quad\forall x\in R$
$\to x^2+2x(m+n)+(m^2+n^2)\ge 0(*),\quad\forall x\in R$
Do $a=1>0$
Để $(*)$ thỏa mãn với $\quad\forall x\in R$
$\to \Delta'\le 0$
$\to (m+n)^2-(m^2+n^2)\le 0$
$\to 2mn\le 0$
$\to mn\le 0$
Ta có:
$P=4(m^2+n^2)-2m-2n$
$\to P=4(m^2+0+n^2)-2(m+n)$
$\to P\ge 4(m^2+2mn+n^2)-2(m+n)$
$\to P\ge 4(m+n)^2-2(m+n)$
$\to P\ge (2(m+n))^2-2\cdot 2(m+n)\cdot \dfrac12+(\dfrac12)^2-\dfrac14$
$\to P\ge (2(m+n)-\dfrac12)^2-\dfrac14$
$\to P\ge 0-\dfrac14$
$\to P\ge -\dfrac14$
$\to A$
