Đáp án:

\(\begin{array}{l}
a)\,\,m <  - 3.\\
b)\,\,\left[ \begin{array}{l}
m = \frac{{ - 49 + \sqrt {33} }}{{16}}\\
m = \frac{{ - 49 - \sqrt {33} }}{{16}}
\end{array} \right..\\
c)\,\,m <  - 2.
\end{array}\)

Giải thích các bước giải:

\({x^2} + 2\left( {m + 2} \right)x - m - 3 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\)

Có:  \(\Delta ' = {\left( {m + 2} \right)^2} + m + 3 = {m^2} + 4m + 4 + m + 3 = {m^2} + 5m + 7 = {\left( {m + \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\,\,\forall m\)

\( \Rightarrow \left( * \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)  

a) Phương trình đã cho có 2 nghiệm dương phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{a} > 0\\\frac{c}{a} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2\left( {m + 2} \right) > 0\\ - m - 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 < 0\\m + 3 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - 2\\m <  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m <  - 3.\)

Vậy \(m <  - 3.\)

b) Với mọi \(m\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}.\)

Áp dụng định lý Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2\left( {m + 2} \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} =  - m - 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \({x_1} = 3 - 2{x_2} \Leftrightarrow {x_1} + 2{x_2} = 3\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2m - 4\\{x_1} + 2{x_2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 2m + 7\\{x_1} =  - 4m - 11\end{array} \right.\)

Thế vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}\left( {2m + 7} \right)\left( { - 4m - 11} \right) =  - m - 3\\ \Leftrightarrow \left( {2m + 7} \right)\left( {4m + 11} \right) = m + 3\\ \Leftrightarrow 8{m^2} + 22m + 28m + 77 - m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 8{m^2} + 49m + 74 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{ - 49 + \sqrt {33} }}{{16}}\\m = \frac{{ - 49 - \sqrt {33} }}{{16}}\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m = \frac{{ - 49 + \sqrt {33} }}{{16}}\\m = \frac{{ - 49 - \sqrt {33} }}{{16}}\end{array} \right..\)

c) Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2} > - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} >  - 2\\\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} >  - 2\\{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2\left( {m + 2} \right) >  - 2\\ - m - 3 - 2m - 4 + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 < 0\\3m <  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - 2\\m <  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m <  - 2.\end{array}\)

Vậy \(m <  - 2.\)