Đặt $t=x^2\Rightarrow t\in [4;5]$
Ta được hàm số: $y(t)=|t^2+t+5+m|, t\in[4;5]$
Đặt $u=t^2+t+5, u\in[22;35]$, hàm số trở thành $y=|u+m|$
Vì $t\in[4;5]\Rightarrow u\in[22;35]$
Hàm số $f(u)$ đồng biến trên khoảng $[22;35]$ nên hàm số $f(u)=|u+m|$ nhận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ở một trong hai điểm $22,35$
Do đó:
$\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;\sqrt 5 } \right]} y = \max \left\{ {f\left( {22} \right),f\left( {35} \right)} \right\} = \max \left\{ {\left| {22 + m} \right|;\left| {35 + m} \right|} \right\} \ge \dfrac{{\left| {22 + m + \left( { - 35} \right) - m} \right|}}{2} = \dfrac{{13}}{2}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $22+m=-35-m\Leftrightarrow m=\dfrac{-57}{2}$
