a) Ta có:
$AD\perp BC \, (gt)$
$BE\perp AC \, (gt)$
$\Rightarrow \widehat{ADC} = \widehat{BEC} = 90^o$
hay $\widehat{HDC} = \widehat{HEC} = 90^o$
Xét tứ giác $CDHE$ có:
$\widehat{HDC} + \widehat{HEC} = 180^o$
Do đó $CDHE$ là tứ giác nội tiếp
b) Xét tứ giác $ABDE$ có:
$\widehat{ADB} = \widehat{AEB} = 90^o$
Do đó $ABDE$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \begin{cases}\widehat{HAB} = \widehat{HEB}\\\widehat{HBA} = \widehat{HDE}\end{cases}$
Xét $ΔHAB$ và $ΔHED$ có:
$\begin{cases}\widehat{HAB} = \widehat{HEB}\\\widehat{HBA} = \widehat{HDE}\end{cases}\,\,\,(cmt)$
Do đó $ΔHAB\sim ΔHED \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{HA}{HE} = \dfrac{HB}{HD}$
$\Rightarrow HA.HD = HB.HE$
c) Ta có: $CDHE$ là tứ giác nội tiếp (câu a)
$\widehat{CDH} = \widehat{CEH} = 90^o$
$\Rightarrow CH$ là đường kính đường tròn ngoại tiếp $CDHE$
$\Rightarrow I$ là trung điểm $CH$
$\Rightarrow IE = IH = IC = R_{(I;\frac{CH}{2})}$
$\Rightarrow ΔIEH$ cân tại $I$
$\Rightarrow \widehat{IEH} = \widehat{IHE}$
mà $\widehat{IHE} + \widehat{HEC} = 90^o$
nên $\widehat{IEH} + \widehat{HEC} = 90^o$ $(1)$
Ta lại có: $ABDE$ là tứ giác nội tiếp (chứng minh ở câu b)
$\widehat{ADB} = \widehat{AEB} = 90^o$
$\Rightarrow AB$ là đường kính đường tròn ngoại tiếp $ABDE$
Gọi $J$ là trung điểm $AB$
$\Rightarrow JA = JB = JE = JD = R_{(J;\frac{AB}{2})}$
$\Rightarrow ΔJEB$ cân tại $J$
$\Rightarrow \widehat{JEB} = \widehat{JBE}$
mà $\widehat{JBE} = \widehat{HCE}$ (cùng phụ $\widehat{BAC}$)
nên $\widehat{JEB} = \widehat{HCE}$ $(2)$
Từ $(1)(2) \Rightarrow \widehat{JEB} + \widehat{IEH} = 90^o = \widehat{JEI}$
$\Rightarrow JE\perp IE$
$\Rightarrow IE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $AB$
