Trên tia đối của tia $DC$ lấy điểm $E$ sao cho $DE = BI$
Xét $ΔDEA$ và $ΔBIA$ có:
$AD = AB \, (gt)$
$\widehat{D} = \widehat{B} = 90^o$
$DE = BI$ (cách dựng)
Do đó $ΔDEA = ΔBIA \, (c.g.c)$
$\Rightarrow AE = AI; \, \widehat{DAE} = \widehat{BAI}$
mà $\widehat{BAI} + \widehat{DAI} = \widehat{A} = 90^o$
nên $\widehat{DAE} + \widehat{DAI} = 90^o = \widehat{EAI}$
$\Rightarrow EA\perp AI$
hay $EA\perp AK$
Ta có: $AE.AK = AD.EK = 2S_{ΔAKE}$
$\Rightarrow AD = \dfrac{AE.AK}{EK}$
$\Rightarrow AD^2 = \dfrac{AE^2.AK^2}{EK^2}$
$\Rightarrow AD^2 = \dfrac{AE^2.AK^2}{AE^2+AK^2}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{AD^2} = \dfrac{AE^2 + AK^2}{AE^2.AK^2}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{AD^2} = \dfrac{AE^2}{AE^2.AK^2} + \dfrac{AK^2}{AE^2.AK^2}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{AD^2} = \dfrac{1}{AK^2} + \dfrac{1}{AE^2}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{AD^2} = \dfrac{1}{AK^2} + \dfrac{1}{AI^2}$ ($AI = AE:$ cmt)
