Lời giải:
a) Ta có:
$O$ là giao điểm `3` đường trung trực $(gt)$
$\Rightarrow OA = OB = OC$
Ta lại có: $OA = OD = \dfrac12AD\quad (gt)$
$\Rightarrow OA = OD = OC = \dfrac12AD$
$\Rightarrow \triangle ACD$ vuông tại $C$
$\Rightarrow DC\perp AC\qquad (1)$
Mặt khác:
$H$ là trực tâm của $\triangle ABC\quad (gt)$
$\Rightarrow BH\perp AC\qquad (2)$
Từ $(1)(2)\Rightarrow BH//DC$
Chứng minh tương tự, ta được: $CH//DB$
Xét tứ giác $BHCD$ có:
$\begin{cases}BH//DC\\CH//DB\end{cases}\quad (cmt)$
Do đó $BHCD$ là hình bình hành
b) Ta có: $BHCD$ là hình bình hành (câu a)
$\Rightarrow HD, BC$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Ta lại có: $M$ là trung điểm $BC$
$\Rightarrow M$ là trung điểm $HD$
hay $H,M,D$ thẳng hàng
Xét $\triangle ADH$ có:
$\begin{cases}OA = OD =\dfrac12AD\quad (gt)\\MH = MD = \dfrac12HD\quad (cmt)\end{cases}$
$\Rightarrow OM$ là đường trung bình của $\triangle ADH$
$\Rightarrow AH = 2MO$
