$\quad ∆ABC$ đều (gt)
`=>\hat{BAC}=60°`
`\qquad AD` là đường cao đồng thời là đường phân giác của $∆ABC$ đều
`=>\hat{BAD}=\hat{CAD}=\hat{BAC}/2={60°}/2=30°`
$\\$
Vì $N$ là trung điểm $AM$ (gt)
`=>DN;EN;FN` lần lượt là các đường trung tuyến của các tam giác vuông
$\quad ∆ADM;∆AEM;∆AFM$
`=>DN=EN=FN=AN=MN=1/2 AM`
`=>∆ANE;∆AND;∆NED;∆ANF;∆DNF` cân tại $N$
`=>\hat{NAE}=\hat{NEA};\hat{NAD}=\hat{NDA}`
$\\$
`\qquad \hat{ENM}` là góc ngoài $∆ANE$
`=>\hat{ENM}=\hat{NAE}+\hat{NEA}=2\hat{NAE}`
`\qquad \hat{MND}` là góc ngoài $∆AND$
`=>\hat{MND}=\hat{NAD}+\hat{NDA}=2\hat{NAD}`
$\\$
`=>\hat{ENM}+\hat{MND}=2\hat{NAE}+2\hat{NAD}`
`=>\hat{END}=2(\hat{NAE}+\hat{NAD})`
`=2.\hat{BAD}=2.30°=60°`
$\quad ∆NED$ cân tại $N$ có `\hat{END}=60°`
`=>∆NED` đều
`=>ED=EN=DN` $(1)$
$\\$
$\quad ∆NAF$ cân tại $N$ (do $NA=NF$)
`=>\hat{NAF}=\hat{NFA}`
$\\$
`\qquad \hat{MNF}` là góc ngoài $∆NAF$
`=>\hat{MNF}=\hat{NAF}+\hat{NFA}=2\hat{NAF}`
Vì `\hat{MND}=2\hat{NAD}` (c/m trên)
`=>\hat{MNF}-\hat{MND}=2\hat{NAF}-2\hat{NAD}`
`=>\hat{DNF}=2(\hat{NAF}-\hat{NAD})`
`=2\hat{DAC}=2.30°=60°`
$\quad ∆DNF$ cân tại $N$ có `\hat{DNF}=60°`
`=>∆DNF` đều
`=>DF=NF=DN` $(2)$
Từ `(1);(2)=>EN=ED=DF=NF`
`=>DENF` là hình thoi (đpcm)
