`1)`
`a)`
Biểu thức `A` xác định `<=> {(3x \ne 0 ),(x + 1 \ne 0 ) ,(2 - 4x \ne 0) :}`
`<=> {(x \ne 0 ),(x \ne -1 ), (x \ne 1/2) :}`
Vậy ĐKXĐ của biểu thức `A` là `x \ne 0 ; x \ne -1 ; x \ne 1/2`
Ta có :
`A =( (x+2)/(3x) + 2/(x+1) - 3 ) : (2-4x)/(x+1) - (3x+1-x^2)/(3x)`
`= ((x+2)(x+1) + 2 . 3x - 3 . 3x . (x+1))/(3x (x+1)) . (x+1)/(2-4x) - (3x+1-x^2)/(3x)`
`= (x^2 + x + 2x+ 2 + 6x - 9x^2 - 9x)/(3x (x+1)) . (x+1)/(2 (1-2x))- (3x+1-x^2)/(3x)`
`= ( -8x^2 +2)/(3x (x+1)) . (x+1)/(2 (1-2x)) - (3x+1-x^2)/(3x)`
` = (2 (-4x^2 +1))/(3x(x+1)) . (x+1)/(2 (1-2x)) - (3x+1-x^2)/(3x)`
`= (2 (1-2x)(1+2x))/(3x (x+1)) . (x+1)/(2 (1-2x)) - (3x+1-x^2)/(3x)`
` = (1+2x)/(3x) - (3x+1-x^2)/(3x)`
` = (1 + 2x - 3x - 1 + x^2)/(3x)`
` = (x^2 - x)/(3x)`
`= (x (x-1))/(3x)`
` = (x-1)/3`
Vậy với `x \ne 0 ; x \ne -1 ; x \ne 1/2 ` thì `A = (x-1)/3`
`b)`
Để `A` nhận giá trị nguyên thì `(x-1)/3` nhận giá trị nguyên và `x \in ZZ ; x \ne 0 ; x \ne -1`
`<=> x- 1 \vdots 3`
`<=> x` có dạng `3k + 1 (k \in ZZ)`
Vậy với `x` có dạng `3k + 1 (k \in ZZ)` thì `A` có giá trị nguyên.
`2)`
Vì `a ; b ; c` là độ dài ba cạnh của tam giác `ABC` nên `a ; b ; c >0`
Ta có : `a^3 + b^3 + c^3 = 3abc`
`<=> a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0`
`<=> (a^3 + ab^2 + ac^2 - a^2b - a^2c - abc) + (a^2b + b^3 + bc^2 - ab^2 - abc - b^2c) + (a^2c + b^2c + c^3- abc - ac^2 - bc^2) = 0`
`<=> a (a^2 + b^2 + c^2 - ab -ac - bc) + b (a^2 + b^2 + c^2 - ab -ac - bc) + c (a^2 + b^2 + c^2 -- ab -ac - bc) = 0`
`<=> (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab -ac - bc) = 0`
`<=> a + b + c =0` hoặc `a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 0`
`+) a + b + c = 0` (không xảy ra do `a ; b ; c > 0`)
`+) a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 0`
`<=> 2a^2 + 2b^2+ 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0`
`<=> (a^2 + b^2 - 2ab) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ac + a^2) = 0`
`<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2=0`
`\forall a ; b ; c` ta có :
`(a-b)^2 \ge 0`
`(b-c)^2 \ge 0`
`(a-c)^2 \ge 0`
`=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 \ge 0`
Dấu `=` xảy ra `<=> {(a - b= 0 ),(b -c =0 ),(a - c = 0):}`
`<=> {(a=b),(b=c),(a=c):}`
`<=> a= b=c`
`<=> \triangle ABC` là tam giác đều.
