\begin{array}{l}
\text{PT có 2 nghiệm phân biệt}\\
⇔\Delta' \ge 0\\
⇔(m+1)^2-m^2-2 \ge 0\\
⇔m^2+2m+1-m^2-2 \ge 0\\
⇔2m-1 \ge 0\\
⇔m \ge \dfrac12\\
\text{Áp dụng hệ thức vi-ét ta có:}\\
\begin{cases}x_1+x_2=2(m+1)\\x_1.x_2=m^2+2\\\end{cases}\\
x_1^2+2(m+1)x_2=12m+2\\
⇔x_1^2+(x_1+x_2)x_2=12m+2\\
⇔x_1^2+x_1.x_2+x_2^2=12m+2\\
⇔(x_1+x-2)^2-x_1.x_2=12m+2\\
⇔4(m+1)^2-(m^2+2)-12m-2=0\\
⇔4m^2+8m+4-m^2-2-12m-2=0\\
⇔3m^2-4m=0\\
⇔m(3m-4)=0\\
m \ge \dfrac12>0\\
\Rightarrow 3m-4=0\\
⇔m=\dfrac43\\
\text{Vậy với }x=\dfrac43 \text{PT có 2 nghiệm phần biệt thỏa đề bài}.\\
\end{array}
