Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Với $ k ∈ N^{*} $ ta có:
$ \dfrac{cos(2k + 1)x + cos(2k - 1)x}{cosx} = \dfrac{2cos2kxcosx}{cosx} = 2cos2kx$
$ ⇒ \int\limits^π_0 {\dfrac{cos(2k + 1)x + cos(2k - 1)x}{cosx} } \, dx $
$ = \int\limits^π_0 {2cos2kx} \, dx = \dfrac{1}{k}sin2kx|^{π}_{0} = 0$
$ ⇒ \int\limits^π_0 {\dfrac{cos(2k + 1)x}{cosx} } \, dx = - \int\limits^π_0 {\dfrac{cos(2k - 1)x}{cosx} } \, dx$
Do đó:
$ \int\limits^π_0 {\dfrac{cos3x}{cosx} } \, dx = - \int\limits^π_0 {\dfrac{cosx}{cosx} } \, dx = - \int\limits^π_0 {} \, dx = - x|^{π}_{0} = - π (1)$
$ - \int\limits^π_0 {\dfrac{cos5x}{cosx} } \, dx = \int\limits^π_0 {\dfrac{cos3x}{cosx} } \, dx(2)$
$ \int\limits^π_0 {\dfrac{cos7x}{cosx} } \, dx = - \int\limits^π_0 {\dfrac{cos5x}{cosx} } \, dx(3)$
$............................................$
$ ( - 1)^{n + 1} \int\limits^π_0 {\dfrac{cos(2n + 1)x}{cosx} } \, dx = (- 1)^{n}\int\limits^π_0 {\dfrac{cos(2n - 1)x}{cosx} } \, dx (n)$
$(1) + (2) + ...+(n): ( - 1)^{n + 1} \int\limits^π_0 {\dfrac{cos(2n + 1)x}{cosx} } \, dx = - π$
$ ⇒ \int\limits^π_0 {\dfrac{cos(2n + 1)x}{cosx} } \, dx = ( - 1)^{n}π$
