Bài 1:
$I=2.2^2+3.2^3+4.2^4+...+10.2^{10}$
$⇒ 2I=2.2^3+3.2^4+4.2^5+...+10.2^{11}$
$⇒ I-2I=(2.2^2+3.2^3+4.2^4+...+10.2^{10})-(2.2^3+3.2^4+4.2^5+...+10.2^{11})$
$⇔ -I=2.2^2+2^3+2^4+...+2^{10}-10.2^{11}$
$⇔ I=-2.2^2-(2^3+2^4+...+2^{10})-10.2^{11}$
Đặt $A=2^3+2^4+...+2^{10}$, ta có:
$2A=2^4+2^5+...+2^{11}$
$⇒ 2A-A=2^{11}-2^3$
$⇔ A=2^{11}-8$
Vậy $I=-2.2^2-2^{11}+8-10.2^{11}$
$=-11.2^{11}$
Bài 2:
$K=2.3^2+3.3^3+4.3^4+...+10.3^{10}$
$⇒ 3K=2.3^3+3.3^4+4.3^5+...+10.3^{11}$
$⇒ K-3K=2.3^2+3^3+3^4+3^5+...+3^{10}+10.3^{11}$
$⇔ -2K=18+(3^3+3^4+...+3^{10})+10.3^{11}$
Đặt $B=3^3+3^4+...+3^{10}$, ta có:
$3B=3^4+3^5+...+3^{11}$
$⇒ 3B-B=3^{11}-3^34$
$⇔ B=\dfrac{3^{11}-27}{2}$
$⇒ -2K=18+\dfrac{3^{11}-27}{2}+10.3^{11}$
$⇔ -2K=\dfrac{36+3^{11}-27+20.3^{11}}{2}$
$⇔ K=\dfrac{-9-21.3^{11}}{4}$
