Ta có: $O$ là tâm của hình vuông đáy
$\Rightarrow OA = OB = OC = OD = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{\sqrt2}{2}AB$
a) $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương
$\Rightarrow AA' = AB$
$\Rightarrow OA = \dfrac{\sqrt2}{2}AA'$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$OA'^2 = AA'^2 + AO^2$
$\Leftrightarrow a^2 = AA'^2 + \dfrac{AA'^2}{2}$
$\Leftrightarrow a^2 = \dfrac{3}{2}AA'^2$
$\Rightarrow AA' = \dfrac{a\sqrt6}{3}$
$\Rightarrow V = AA'^3 = \dfrac{2a^3\sqrt6}{9}$
b) Do $AA'\perp (ABCD)$
$\Rightarrow \widehat{(OA';(ABCD))} = \widehat{AOA'} = 60^o$
$\Rightarrow AA' = OA'.\sin\widehat{AOA'} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$
$\Rightarrow OA =\dfrac{OA'}{2} =\dfrac{a}{2}$
$\Rightarrow AB = OA\sqrt2 = \dfrac{a\sqrt2}{2}$
Ta được:
$V = AB^2.AA' = \dfrac{a^2}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt3}{2} = \dfrac{a^3\sqrt3}{4}$
c) Ta có: $BD\perp AC$
$AA' \perp BD$
$\Rightarrow BD\perp (AA'C'C)$
$\Rightarrow \widehat{(A'B;(AA'C'C))} = \widehat{OA'B} = 30^o$
$\Rightarrow OB = OA = OA'.\tan\widehat{OA'B} = \dfrac{a\sqrt3}{3}$
$\Rightarrow AB = OA\sqrt2 = \dfrac{a\sqrt6}{3}$
$\Rightarrow AA' =\sqrt{OA'^2 - OA^2} = \dfrac{a\sqrt6}{3}$
$\Rightarrow V=\left(\dfrac{a\sqrt6}{3}\right)^3 = \dfrac{2a^3\sqrt6}{9}$
