- b) Hình 1
$\Delta AEF\sim\Delta ABC$
$\to \dfrac{FE}{CB}=\dfrac{FA}{CA}$
$\to FE.CA=CB.FA$
$\to \left( 2FT \right).CA=\left( 2CI \right).FA$
$\to FT.CA=CI.FA$
$\to \dfrac{FT}{CI}=\dfrac{FA}{CA}$
Xét $\Delta ATF$ và $\Delta AIC$ có:
$\widehat{AFT}=\widehat{ACI}$
$\dfrac{FT}{CI}=\dfrac{FA}{CA}$
$\to \Delta ATF\sim\Delta AIC$
$\to \widehat{ATF}=\widehat{AIC}$
$\to \widehat{ATE}=\widehat{AIS}$
$\to TNIS$ là tứ giác nội tiếp
- c) Hình 2
$BFEC$ nội tiếp tâm $I$
$\to IF=IE$
Mà $TF=TE$
$\to TI$ là đường trung trực $EF$
$\to \widehat{ITN}=90{}^\circ $
Mặt khác $TNIS$ là tứ giác nội tiếp
$\to \widehat{ISN}=\widehat{ITN}=90{}^\circ $
$\to NS\,\bot BC$
$\to NS\,\,||\,\,IM$
$\bullet \,\,\,\,\,$Chứng minh $MB$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$
Kẻ tiếp tuyến $xA$
$\to xA\bot OA$
Chứng minh được một bài toán quen thuộc là:
$xA\,\,||\,\,EF$
Mà $EF\bot IT$
Nên $IT\,\,||\,\,OA$
$\to \widehat{TIA}=\widehat{OAI}$ ( so le trong )
Mà:
$\widehat{TIA}=\widehat{TSN}$ ( $TNIS$ nội tiếp )
$\widehat{TSN}=\widehat{OMA}$ ( $NS\,\,||\,\,OM$, hai góc so le trong )
Nên $\widehat{OAI}=\widehat{OMA}$
$\to \Delta OAI\sim\Delta OMA$
$\to O{{A}^{2}}=OI.OM$
$\to O{{B}^{2}}=OI.OM$
$\to \Delta OBM\sim\Delta OIB$
$\to \widehat{OBM}=\widehat{OIB}=90{}^\circ $
$\to MB$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$
