Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Điều kiện
$ 2x² + 5x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ - 2; x ≥ - \frac{1}{2}$
$ 3x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ - \frac{1}{3}$. Vậy $: x ≥ - \frac{1}{3}$
$PT$ tương đương với:
$x² + 8x + 5 = 2[\sqrt[]{2x² + 5x + 2} + (x + 1)\sqrt[]{3x + 1}] $
$ = 2[\sqrt[]{x + 2}.\sqrt{2x + 1} + (x + 1).\sqrt[]{3x + 1}] $
$ ≤ 2\sqrt[]{(\sqrt[]{x + 2})² + (x + 1)²}.\sqrt[]{(\sqrt[]{2x + 1})² + (\sqrt[]{3x + 1})² } (1)$ (Bunhiacopsky)
$ = 2\sqrt[]{x² + 3x + 3}.\sqrt[]{5x + 2}$
$ ≤ (\sqrt[]{x² + 3x + 3})² + (\sqrt[]{5x + 2})² (2) = x² + 8x + 5$ (Cô si)
Vậy đã xảy ra dấu $'='$ ở $(1); (2)$ nên có đồng thời:
$ \sqrt[]{x² + 3x + 3} = \sqrt[]{5x + 2} ⇔ x² - 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1$
$\frac{\sqrt[]{(x + 2)}}{\sqrt[]{(2x + 1)}} = \frac{x + 3}{\sqrt[]{(3x + 1)}} ⇔ x =1 (TM)$
Vậy $PT$ đã cho có nghiệm duy nhất $x = 1$
