a) Ta sẽ đi chứng minh tọa độ điểm $I$ luôn làm cho biểu thức đúng với mọi $m$ từ đó suy ra điểm $I$ thuộc $d$ và là điểm cố định:
$\begin{array}{l} y - \left( {2m + 3} \right)x + 2 - m = 0\\ \Leftrightarrow - \dfrac{7}{2} - \left( {2m + 3} \right).\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + 2 - m = 0\\ \Leftrightarrow - \dfrac{7}{2} + \left( {2m + 3} \right).\dfrac{1}{2} + 2 - m = 0\\ \Leftrightarrow - \dfrac{7}{2} + m + \dfrac{3}{2} + 2 - m = 0\\ \Leftrightarrow 0 = 0 \end{array}$
Vậy $I$ là điểm cố định của đường thẳng $d$
b) Gọi $M(x_0;y_0)$ là điểm cố định của đường thẳng $d$.
Từ đó ta có:
$\begin{array}{l} y = \left( { - \dfrac{1}{2}m + 1} \right)x + m - 3\\ \Leftrightarrow {y_0} = \left( { - \dfrac{1}{2}m + 1} \right){x_0} + m - 3\,\left( {đúng\,với\,\forall m} \right)\\ \Leftrightarrow {y_0} = - \dfrac{1}{2}m{x_0} + {x_0} + m - 3\\ \Leftrightarrow {y_0} + \dfrac{1}{2}m{x_0} - {x_0} + 3 - m = 0\left( {đúng\,với\,\forall m} \right)\\ \Leftrightarrow m\left( {\dfrac{1}{2}{x_0} - 1} \right) + \left( {{y_0} - {x_0} + 3} \right) = 0\left( {dung\,voi\,\forall m} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{2}{x_0} - 1 = 0\\ {y_0} - {x_0} + 3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = 2\\ {y_0} = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2; - 1} \right)\\ \end{array}$
