\(\begin{array}{l}
\quad f(x,y) = \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}\\
a)\quad \text{Ta có:}\\
+)\quad \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{4xy^2}{(x^2+ y^2)^2}\\
+)\quad \dfrac{\partial f}{\partial y} =- \dfrac{4x^2y}{(x^4 + y^2)^2}\\
\Rightarrow df = \dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy\\
\Rightarrow df = \dfrac{4xy^2}{(x^4 + y^2)^2}dx - \dfrac{4x^2y}{(x^4 + y^2)^2}dy\\
\text{Tại $(1;1)$ ta được:}\\
\quad df = 1dx - 1dy\\
b)\quad \text{Ta có:}\\
+)\quad \dfrac{\partial^2f}{\partial x^2} = \dfrac{4y^2(y^2 - 3x^2)}{(x^2+ y^2)^3}\\
+)\quad \dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y} = \dfrac{\partial^2f}{\partial y\partial x} = \dfrac{8xy(x^2- y^2)}{(x^2+ y^2)^3}\\
+)\quad \dfrac{\partial^2f}{\partial y^2} =- \dfrac{4x^2(x^2 - 3y^2)}{(x^2 + y^2)^3}\\
\text{Tại $(1;1)$ ta được:}\\
+)\quad \dfrac{\partial^2f}{\partial x^2} =-1\\
+)\quad \dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y} = \dfrac{\partial^2f}{\partial y\partial x} = 0\\
+)\quad \dfrac{\partial^2f}{\partial y^2} = 1\\
c)\quad \lim\limits_{(x,y)\to (0;0)}f(x,y)\\
= \lim\limits_{(x,y)\to (0;0)}\dfrac{x^2 - y^2}{x^2+ y^2}\\
\text{Đặt $y = kx$ ta được:}\\
\quad \lim\limits_{(x,y)\to (0;0)}f(x,y)\\
= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2 - k^2x^2}{x^2 + k^2x^2}\\
= \dfrac{1- k^2}{1+ k^2}\\
\Rightarrow \text{Giới hạn phụ thuộc vào giá trị của $k$}\\
\text{ Mỗi giá trị $k$ khác nhau cho các giới hạn khác nhau}\\
\text{ Do đó giới hạn đã cho không tồn tại}
\end{array}\)
