Đáp án:
Để `n(n+1)` là số chính phương thì ta đặt:
`n(n+1)=a^2(n in NN^{**},a in ZZ)`
Vì `n(n+1)+n^2+n>=2`
`=>a^2>=2`.
`<=>n^2+n=a^2`
`<=>4n^2+4n=4a^2`
`<=>4n^2+4n+1=4a^2+1`
`<=>(2n+1)^2-(2a)^2=1`
`<=>(2n+1-2a)(2n+1+2a)=1`
Vì `2n,2a in ZZ`
`=>2n+1-2a,2n+2a+1 in Ư(1)={1,-1}`
`**`:\(\begin{cases}2n-2a+1=1\\2n+2a+1=1\\\end{cases}\)
`<=>` \(\begin{cases}2n-2a=0\\2n+2a=0\\\end{cases}\)
`<=>` \(\begin{cases}n=0(\text{loại})\\a=0\\\end{cases}\)
`**`:\(\begin{cases}2n-2a+1=-1\\2n+2a+1=-1\\\end{cases}\)
`<=>` \(\begin{cases}2n-2a=-2\\2n+2a=-2\\\end{cases}\)
`<=>` \(\begin{cases}n-a=-1\\n+a=-1\\\end{cases}\)
`<=>` \(\begin{cases}n=-1(\text{loại})\\a=0\\\end{cases}\)
Vậy không có giá trị nào của n là số nguyên dương để `n(n+1)` là số chính phương.
