Ta có :
`a^2 + b^2`
` = ((1 + \sqrt{5})/2 )^2 + ((1 - \sqrt{5})/2 )^2 `
` = ((1 + \sqrt{5})^2 )/ (2^2) + ((1 - \sqrt{5})^2 )/ (2^2)`
` = (1^2 + 2 . 1 . \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 ) /(2 . 2) + (1^2 - 2 . 1 . \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 ) /(2 . 2)`
` = (1 + 2 \sqrt{5} + 5)/(2.2) + (1 - 2\sqrt{5}+5)/(2.2)`
` = (1 + 2\sqrt{5} + 5 + 1 - 2\sqrt{5} +5)/(2.2)`
` = 12/4`
` = 3`
Vậy `a^2 + b^2 = 3`
Ta có :
`a + b = (1 + \sqrt{5})/2 + (1 - \sqrt{5})/2 = (1 + \sqrt{5} + 1 - sqrt{5})/2 = 2/2 = 1`
`a . b = (1 + \sqrt{5})/2 . (1 - \sqrt{5})/2 = ((1+ \sqrt{5}) . (1 - sqrt{5}))/(2.2)`
`= (1^2 - (\sqrt{5})^2)/(2.2) = (1 - 5)/4 = (-4)/4 = -1`
`=> (ab)^2 = (-1)^2`
`=> a^2 b^2 = 1`
Ta chứng minh với `a^2b^2 = 1` thì `a^5 + b^5 = (a+b)(a^2 - ab+b^2)(a^2 + b^2) - (a+b)`
Ta có :
`(a+b)(a^2 - ab+b^2)(a^2 + b^2) - (a+b)`
`= (a^3 + b^3)(a^2 + b^2) - (a+b)`
` = a^5 + a^3b^2 + b^3a^2 + b^5 - (a+b)`
` = a^5 + b^5 + (a^3b^2 + b^3a^2) - (a+b)`
` = a^5 + b^5 + a^2 b^2 . (a + b) - (a+b)`
Mà `a^2 b^2 = 1` nên :
`(a^3 + b^3)(a^2 + b^2) - (a+b) = a^5 + b^5 + (a+b) - (a+b)`
` = a^5 + b^5`
Vậy `a^5 + b^5 =(a+b)(a^2 - ab+b^2)(a^2 + b^2) - (a+b)`
Mà `a+b = 1 ; a^2 + b^2 = 3` và `ab = 1` nên ta có :
`a^5 + b^5 = 1 . (3 +1) . 3 - 1`
` = 1 . 4 . 3 - 1`
` = 12 - 1`
` = 11`
Vậy `a^5 + b^5 = 11`
