Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\), \(AB = BC = a\sqrt 3 \), \(\angle SAB = \angle SCB = {90^0}\) và khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(a\sqrt 2 \). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) theo \(a\) ?
A.\(S = 16\pi {a^2}\)
B.\(S = 12\pi {a^2}\)
C.\(S = 4\pi {a^2}\)
D.\(S = 8\pi {a^2}\)

Cho phương trình \({\log _3}\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{2{x^2} - 2x + 3}} = {x^2} - 3x + 2\) có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\). Tính \(x_1^2 + x_2^2\).
A.\(0\)
B.\(\dfrac{1}{5}\)
C.\(5\)
D.\( - 5\)

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho 3 điểm \(A\left( {2;0;0} \right)\), \(B\left( {0;3;1} \right)\), \(C\left( { - 3;6;4} \right)\). Gọi \(M\) là điểm nằm trên cạnh \(BC\) sao cho diện tích tam giác \(ACM\) gấp hai lần diện tích tam giác \(ABM\). Tính độ dài đoạn \(AM\).
A.\(AM = \sqrt {29} \)
B.\(AM = 2\sqrt 7 \)
C.\(AM = \sqrt {30} \)
D.\(AM = 3\sqrt 3 \)

Cho hình vuông \(ABCD\) và \(ABEF\) có cạnh bằng \(1\), lần lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi \(S\) là điểm đối xứng với \(B\) qua đường thẳng \(DE\). Tính thể tích của khối đa diện \(ABCDSEF\).
A.\(\dfrac{7}{6}\)
B.\(\dfrac{2}{3}\)
C.\(\dfrac{{11}}{{12}}\)
D.\(\dfrac{5}{6}\)

Một vật trang trí bằng pha lê gồm hai hình nón \(\left( {{H_1}} \right)\), \(\left( {{H_2}} \right)\) xếp chồng lên nhau, lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng \({r_1},\,\,{h_1}\), \({r_2},\,\,{h_2}\) thỏa mãn \({r_1} = \dfrac{1}{2}{r_2},\,\,{h_1} = \dfrac{1}{2}{h_2}\) (hình vẽ)
Biết thể tích toàn phần của khối pha lê bằng \(100\,\,c{m^3}\). Tính thể tích của khối \(\left( {{H_1}} \right)\).
A.\(25\,\,c{m^3}\)
B.\(\dfrac{{100}}{9}\,\,c{m^3}\)
C.\(\dfrac{{100}}{3}\,\,c{m^3}\)
D.\(50\,\,c{m^3}\)

Cho \(A = \int {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} \), \(B = \int {\dfrac{{\sin x}}{{\cos x + \sin x}}dx} \). Tìm biểu thức của \(K = 3A + B\).
A.\(K =  - 2x - \ln \left| {\sin x + \cos x} \right| + C\), \(C\) là hằng số
B.\(K = 2x + \ln \left| {\sin x + \cos x} \right| + C\), \(C\) là hằng số
C.(K =  - 2x + \ln \left| {\sin x + \cos x} \right| + C\), \(C\) là hằng số
D.\(K = 2x - \ln \left| {\sin x + \cos x} \right| + C\), \(C\) là hằng số

Biết rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - 5}}{{x - 1}} = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{g\left( x \right) - 1}}{{x - 1}} = 3\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {f\left( x \right).g\left( x \right) + 4}  - 3}}{{x - 1}}\).
A.\(7\)
B.\(17\)
C.\(\dfrac{{23}}{7}\)
D.\(\dfrac{{17}}{6}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^2} + ax + b} \right|\). Gọi \(M\) là giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left[ { - 1;3} \right]\). Tính giá trị của biểu thức \(a + 2b\) khi \(M\) nhỏ nhất.
A.\(4\)
B.\(3\)
C.\( - 4\)
D.\(2\)

Với điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}ac\left( {{b^2} - 4ac} \right) > 0\\ab < 0\end{array} \right.\) thì đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) cắt trục hoành tại mấy điểm?
A.\(2\)
B.\(3\)
C.\(1\)
D.\(4\)

Một thừa đất hình chữ nhật có chiều dài bằng \(20\) mét và chiều rộng bằng \(10\) mét, người ta giảm chiều dài \(x\) mét (với \(0 < x < 20\) ) và tăng chiều rộng thêm \(2x\) mét để được thửa đất mới. Tìm \(x\) để thửa đất mới có diện tích lớn nhất?
A.\(x = \dfrac{{15}}{2}\)
B.\(x = \dfrac{{15}}{4}\)
C.\(x = 10\)
D.\(x = 15\)