Đáp án:
`\frac{16}{11}`
Giải thích các bước giải:
Khi m bắt đầu rời khỏi M thì m có vận tốc $ \overrightarrow{{{v}_{1}}} $ đối với M và M có vận tốc $ \overrightarrow{{{v}_{2}}} $ đối với đất.
Bảo toàn động lượng theo phương ngang:
$ M{{v}_{2}}+m\left( {{v}_{2}}-{{v}_{1}}\sin \alpha \right)=0\to {{v}_{2}}=\dfrac{m{{v}_{1}}\sin \alpha }{m+M} $ (1)
Bảo toàn cơ năng ta có: $ mgR\left( 1-\sin \alpha \right)=\dfrac{Mv_{2}^{2}}{2}+\dfrac{m{{\left( \overrightarrow{{{v}_{1}}}+\overrightarrow{{{v}_{2}}} \right)}^{2}}}{2} $
$ \Rightarrow 2mgR\left( 1-\sin \alpha \right)=\left( m+M \right)v_{2}^{2}+mv_{1}^{2}+2m{{v}_{1}}{{v}_{2}}\cos \left( \alpha +\dfrac{\pi }{2} \right) $ (2)
Từ (1) và (2) ta có:
$ \Rightarrow 2mgR\left( 1-\sin \alpha \right)=\dfrac{{{m}^{2}}{{\sin }^{2}}\alpha }{m+M}v_{1}^{2}+mv_{1}^{2}-\dfrac{2{{m}^{2}}{{\sin }^{2}}\alpha }{m+M}v_{1}^{2} $
$ \Rightarrow v_{1}^{2}=2gR\left( 1-\sin \alpha \right)\dfrac{m+M}{M+m{{\cos }^{2}}\alpha } $ (3)
Khi vật m bắt đầu rời khỏi M, gia tốc của vật M bằng 0 và phản lực của M lên m cũng bằng 0
Định luật II Niuton cho vật m trong hệ quy chiếu gắn với M là:
$ mg\sin \alpha =m\dfrac{v_{1}^{2}}{R}\Rightarrow v_{1}^{2}=gR\sin \alpha $ (4)
Từ (3) và (4) suy ra: $ \sin \alpha =2\left( 1-\sin \alpha \right)\dfrac{m+M}{M+m{{\cos }^{2}}\alpha } $
$ \Rightarrow \dfrac{m}{M}=\dfrac{3\sin \alpha -2}{2-2\sin \alpha -\sin \alpha {{\cos }^{2}}\alpha }=\dfrac{3\sin \alpha -2}{{{\sin }^{3}}\alpha -3\sin \alpha +2} $
Vì $ \sin \alpha =\dfrac{\dfrac{7R}{4}-R}{R}=\dfrac{3}{4} $ nên ta có: $ \dfrac{m}{M}=\dfrac{16}{11} $
